【題目】已知 CD 是經(jīng)過∠BCA 頂點 C 的一條直線,CA=CB.E、F 分別是直線 CD 上兩點(不 重合),且∠BEC=∠CFA=∠a
(1)若直線 CD 經(jīng)過∠BCA 的內(nèi)部,且 E、F 在射線 CD 上,請解決下面問題:
①若∠BCA=90°,∠a=90°,請在圖 1 中補全圖形,并證明:BE=CF,EF=;
②如圖 2,若 0°<∠BCA<180°,請?zhí)砑右粋關于∠a 與∠BCA 關系的條件 , 使①中的兩個結論仍然成立;
(2)如圖 3,若直線 CD 經(jīng)過∠BCA 的外部,∠a=∠BCA,請寫出 EF、BE、AF 三條線 段數(shù)量關系(不要求證明).
【答案】(1)①見解析;②添加條件:∠α+∠ACB=180°時,①中兩個結論仍然成立,證明見解析;(2)EF=BE+AF..
【解析】
(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF,根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;
②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.
(2)求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.
(1)①如圖1中,
E點在F點的左側,∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠BEC=∠AFC=90°,
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中,
,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,.
∴EF=CF-CE=BE-AF,.
當E在F的右側時,同理可證EF=AF-BE,.
∴EF=|BE-AF|;
②∠α+∠ACB=180°時,①中兩個結論仍然成立;.
證明:如圖2中,.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,.
∴∠CBE=∠ACF,.
在△BCE和△CAF中,.
,.
∴△BCE≌△CAF(AAS),.
∴BE=CF,CE=AF,.
∴EF=CF-CE=BE-AF,.
當E在F的右側時,同理可證EF=AF-BE,.
∴EF=|BE-AF|;
(2)EF=BE+AF..
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【題目】已知射線平行于射線,點、分別在射線、上.
(1)如圖1,若點在線段上,若,時,則_________.
(2)如圖1,若點在線段上運動(不包含、兩點),則、、之間的等量關系是_____________________.
(3)①如圖2,若點在線段的延長線上運動,則、、之間的等量關系是________________;
②如圖3,若點在線段的延長線上運動,則、、之間的等量關系是________________.
(4)請說明圖2中所得結論的理由.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直徑,點P是CD延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AB=4+,BC=2,求⊙O的半徑.
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【題目】已知A,B,C三點在同一直線上,∠DAE=∠AEB,∠D=∠BEC,
(1)求證:BD∥CE;
(2)若∠C=70°,∠DAC=50°,求∠DBE的度數(shù).
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【題目】作圖與探究(不寫作法,保留作圖痕跡,并用 0.5 毫米黑色簽字筆描深痕跡) 如圖,∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的兩個外角°
(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠DBC 和∠ECB 的平分線,設它們相交于點 P;
(2)過點 P 分別畫直線 AB、AC、BC 的垂線段 PM、PN、PQ,垂足 為 M、N、Q;
(3) PM、PN、PQ 相等嗎?(直接寫出結論,不需說明理由)
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【題目】三角形中,頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形,如圖,△ABC中,AB=AC,且∠A=36°.
(1)在圖中用尺規(guī)作邊AB的垂直平分線交AC于D,連接BD(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)請問△BDC是不是黃金三角形,如果是,請給出證明,如果不是,請說明理由.
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【題目】某學習小組在探究三角形全等時,發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形:
如圖1,已知:在中,,,直線m經(jīng)過點A,直線m,直線m,垂足分別為點D、試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關系,請直接寫出;
組員小穎想,如果三個角不是直角,那結論是否會成立呢?如圖2,將中的條件改為:在中,,D、A、E三點都在直線m上,并且有其中為任意銳角或鈍角如果成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神,并鼓勵他們運用這個知識來解決問題:
如圖3,F是角平分線上的一點,且和均為等邊三角形,D、E分別是直線m上A點左右兩側的動點、E、A互不重合,在運動過程中線段DE的長度始終為n,連接BD、CE,若,試判斷的形狀,并說明理由.
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD⊥MN,BE⊥MN,垂足分別為點D,E.求證:DE=AD+BE.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A,B,C是x軸的正半軸上從左向右依次排列的三點,過點A,B,C分別作與軸平行的直線,,.
(1)如圖1,若直線與直線,,分別交于點D,E,F三點,設D(,),E(,),F(,) .
①若,,,則 (填“=”,“>”或“<”);
②若,, (),求證:AB=BC;
(2)如圖2,點A,B,C的橫坐標分別為,n,(),直線,,與反比例函數(shù)()的圖像分別交于點D,E,F,根據(jù)以上探究的經(jīng)驗,探索
與之間的大小關系,并說明理由.
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