【題目】小明學(xué)習(xí)了特殊的四邊形---平行四邊形后,對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣,發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形,如圖1,我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中,一定是垂美四邊形的是 .
(2)性質(zhì)探究:如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形,試探究兩組對邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系.
(3)問題解決:如圖2,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5.
①求證:四邊形BCGE為垂美四邊形;
②直接寫出四邊形BCGE的面積.
【答案】(1)菱形、正方形;(2);(3)①見詳解;②.
【解析】
(1)由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)利用勾股定理,分別求出,,,,然后即可得到結(jié)論;
(3)①連接CG、BE,證出∠GAB=∠CAE,由SAS證明△GAB≌△CAE,得出BG=CE,∠ABG=∠AEC,再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理求出∠BNM=90°,得出BG⊥CE即可;
②根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合面積公式計(jì)算即可.
解:(1)∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中,兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形,
∴菱形和正方形一定是垂美四邊形;
故答案為:菱形、正方形;
(2)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,
由勾股定理,得:
,;
,;
∴,
;
∴;
(3)①證明:連接CG、BE,如圖2所示:
∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形,
∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°,FG=AG=AC=CF,AB=AE,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,
即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,
,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴BG=CE,∠ABG=∠AEC,
又∵∠AEC+∠AME=90°,∠AME=∠BMN,
∴∠ABG+∠BMN=90°,
∴∠BNM=90°,
∴BG⊥CE,
∴四邊形BCGE為垂美四邊形;
②解:∵FG=CF=AC=4,∠ACB=90°,AB=5,
∴BC=,
∴BF=BC+CF=7,
在Rt△BFG中,BG=,
∴CE=BG=,
∵四邊形BCGE為垂美四邊形,
∴四邊形BCGE的面積=△BCE的面積+△GCE的面積
=
=
=
=;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn),其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P是線段AC上的一個動點(diǎn),過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn),求線段PE長度的最大值;
(3)點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)A(3,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知點(diǎn)P(n,n)(n>0),過點(diǎn)P作平行于軸的直線,交直線y=x-2于點(diǎn)M,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線,交函數(shù) 的圖象于點(diǎn)N.
①當(dāng)n=1時,判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②若PN≥PM,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)(m≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(n,6),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示有下列4個結(jié)論:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④a+b>m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)),其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有( )
A.一處B.二處C.三處D.四處
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC=4,∠BAC=100°,點(diǎn)D是底邊BC的動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE與AC交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)DC等于多少時,△ABD與△DCE全等?請說明理由;
(2)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,求出∠BDA的度數(shù);若不可以,請說明理由.
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