Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．

（1）求證：AD＝BC；

（2）求證：△AGD∽△EGF；

（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

試題（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可得GA=GB，GD=GC．由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根據全等三角形的對應邊相等即可得AD=BC．（2）根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似可判定△AGB∽△DGC，再由相似三角形對應高的比等于相似比可得，再證得∠AGD=∠EGF，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判定△AGD∽△EGF．（3）如圖1，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH．由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC．

在△GAM和△HBM中，由∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB可證得∠AGB=∠AHB=90°，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠AGE =45°，即可得出根據相似三角形對應邊的比相等即可得

試題解析：（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB．同理GD=GC．

在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．

（2） 證明：∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC．

在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC．

∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．

（3）解：如圖1，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH．

由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴

又△AGD∽△EGF，

∴

（本小題解法有多種，如可按圖2、圖3做輔助線求解，過程略）