Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)T在第二象限的拋物線上，若其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B重合），過M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過Q作QN⊥x軸于N，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）T（-，2）；（3）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)T坐標(biāo)，表示出點(diǎn)T關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，代入解析式，求出點(diǎn)T坐標(biāo)；

（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)=-2m2-8m+2，將-2m2-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形的面積．

解：（1）設(shè)解析式y=a（x-1）（x+3）

將C（0，3）代入得a =-1

∴解析式為y=-x2-2x+3

（2）設(shè)T（m，-m2-2m+3）

則點(diǎn)T關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)K坐標(biāo)為（-m，m2+2m-3）

將點(diǎn)K代入解析式得

m2+2m-3=-m2+2m+3

∴m2=3

∴m=±

∴m=-

∴T（-，2）

（3）由拋物線y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4可知，對(duì)稱軸為直線x=-1，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=2（-m2-2m+3-2m-2）=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=-2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．

∵點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2+3=1，則點(diǎn)E（-2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．