Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=BC=AC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C方向以1．5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，過(guò)點(diǎn)Q作BC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△MPQ與△ABC重疊部分的面積為y（cm2）（規(guī)定：線段是面積為0的圖形）．

（1）當(dāng)x= （s）時(shí)，PQ⊥BC；

（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí)，x= （s）；

（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1.5；（2）3；（3）

【解析】

（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的長(zhǎng)，利用余弦的定義得出方程，求解即可；

（2）根據(jù)△ABC是等邊三角形得出BQ=CM，表示出PC的長(zhǎng)，結(jié)合余弦的定義得出方程，求解即可；

（3）根據(jù)（1）和（2）中結(jié)論，分0≤x＜1.5時(shí)，1.5≤x≤3時(shí)，3＜x≤4時(shí)三種情況畫出圖形，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，可得函數(shù)解析式.

解：（1）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，

BP=1.5x，BQ=6-x，

∴BQ=，即6-x=，

∴6-x=3x，

解得：x=1.5，

∴當(dāng)x=1.5時(shí)，PQ⊥BC；

（2）∵△ABC是等邊三角形，QM∥BC，

∴AQ=AM，BQ=CM，

PC=6-1.5x，CM=，

∴BQ=12-3x，AQ=x，

∴12-3x+x=6，

解得x=3，

∴當(dāng)點(diǎn)M落在AC上時(shí)，x=3（s）；

（3）當(dāng)0≤x＜1.5時(shí)，過(guò)Q作QE⊥BC于E，

∵BQ=6-x，

∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，

y=S△BPQ-S△BPD

=

=

=；

當(dāng)1.5≤x≤3時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，

可知：四邊形QDPM為矩形，

∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，

PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，

則y=S△PQM

=

=

=；

當(dāng)3＜x≤4時(shí)，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，

可知四邊形QEPM為矩形，

∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-（6-x）=2x-3，

∵QM∥BC，

∴△AQO為等邊三角形，∠MON=∠C=60°，

∴AQ=OQ=AO=x，

∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，

∵PC=6-1.5x，∠C=60°，

∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=，

∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-=，

y=S△PQM-S△NOM

=

=-（x-3）（）

=

故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.