【題目】.如圖,⊙OABC的外接圓,直線DE是⊙O的切線,點A為切點,DEBC

1)如圖1.求證:AB=AC;

2)如圖2.P是弧AB上一動點,連接PA、PB,作PFPB,垂足為點P,PF交⊙O于點F, 求證:∠BAC=2APF;

3)如圖3.在(2)的條件下,連接PC,PA=PB=,PC=,求線段PF的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3.

【解析】

1)如圖1中,連接OA,延長AOBCH,只需證明AH垂直平分BC即可;(2)如圖2中,連接OA、BF,首先證明BF是直徑,可得∠1=∠3,再證明OA平方∠BAC即可解決問題;(3)如圖3中,連接AF、CF、BF、OA延長OABCH,在AB上取一點K,使得∠BPK=APC,作BMPCM,利用△APC∽△KPB和△APK∽△CPB推出,設(shè)BC=k,AB=AC=k,⊙O的半徑為r,在RtABH中,AH=k,在RtOBH中,OB2=OH2+BH2,得到r2=k2+k-r2,推出r=k,在RtFBC中,sinBFC=,推出cosBFC=,在RtPBM中,PB=5,由∠BPC=BFC,推出PM=PBcosPBC=×5=4,BM=PBsinBPC=5×=3CM=PC=PM=3,
推出BM=CM=3,則BC=CM=6,可得k=6,求得k=3,求出半徑即可解決問題.

1)證明:如圖1中,連接OA,延長AOBCH

DE是切線,
OADE,
DEBC,
AHBC,
BH=CH
AB=AC
2)證明:如圖2中,連接OA、BF

BPPF
∴∠BPF=90°,
BF是直徑,
OB=OA
∴∠2=3,
∵∠1=2
∴∠1=3,
由(1)可知,AB=AC,AOBC,
OA平分∠BAC
∴∠BAC=23=21,
∴∠BAC=2APF
3)解:如圖3中,連接AF、CFBF、OA延長OABCH,在AB上取一點K,使得∠BPK=APC,作BMPCM

∵∠BPK=APC,∠AFP=PBK,
∴△APC∽△KPB
PBAC=BKPC
∵∠APK=CPB,∠PAK=PCB,
∴△APK∽△CPB,
PABC=PCAK ②,
+②得PBAC+PABC=PCAB,
AB=AC,

設(shè)BC=k,AB=AC=k,⊙O的半徑為r
RtABH中,AH==k,
RtOBH中,∵OB2=OH2+BH2,
r2=k2+k-r2,
r=k,
RtFBC中,sinBFC=,
cosBFC=,
RtPBM中,∵PB=5,∠BPC=BFC
PM=PBcosPBC=×5=4,BM=PBsinBPC=5×=3,
CM=PC=PM=3,
BM=CM=3,
BC=CM=6,
k=6,
k=3
r=×3=5,
RtPBF中,PF==5

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