Question

【題目】已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AB∥CD， ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿 DC 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn) P作 PE⊥AB，交 BC 于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) Q 作 QF∥AC，分別交 AD， OD 于點(diǎn) F， G．連接 OP，EG．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，點(diǎn) E 在 BAC 的平分線上？

（2）設(shè)四邊形 PEGO 的面積為 S(cm2) ，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻 t ，使四邊形 PEGO 的面積最大？若存在，求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）連接 OE， OQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）時(shí)，取得最大值；（4）時(shí)，.

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)E在∠BAC的平分線上時(shí)，因?yàn)?/span>EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（2）根據(jù)S四邊形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可．

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

（4）證明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，

∴AC==6（cm），

∵OD垂直平分線段AC，

∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCO，

∵∠DOC=∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴，

∴，

∴CD=5（cm），OD=4（cm），

∵PB=t，PE⊥AB，

易知：PE=t，BE=t，

當(dāng)點(diǎn)E在∠BAC的平分線上時(shí)，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE=EC，

∴t=8-t，

∴t=4．

∴當(dāng)t為4秒時(shí)，點(diǎn)E在∠BAC的平分線上．

（2）如圖，連接OE，PC．

S四邊形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）

=

=．

（3）存在．

∵，

∴t=時(shí)，四邊形OPEG的面積最大，最大值為．

（4）存在．如圖，連接OQ．

∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，

∵∠QOC+∠QOG=90°，

∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，

∴，

∴，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得或10（舍棄）

∴當(dāng)秒時(shí)，OE⊥OQ．