Question

【題目】已知A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.

（1）若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

①如圖①，當(dāng)∠A=135°，R=1時(shí)，求∠BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng)．

②如圖②，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證： ；

（2）若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動(dòng)，如圖③，當(dāng)∠MAN=60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為P，試探索在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠BOC=90°，BC=，②證明見解析；（2）在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，因?yàn)椤?/span>A=135°，所以優(yōu)弧所對(duì)的角∠BOC=270°，所以劣弧BC所對(duì)的∠BOC=90°，再由勾股定理計(jì)算出BC的長(zhǎng)度；②延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)E，連接BE，所以∠A=∠E，因?yàn)?/span>CE為0的直徑，得出∠CBE=90°，所以sinA=sinE==；（2）連接AP，取AP的中點(diǎn)K，分別連接CK、BK，由于BP⊥AM，CP⊥AN，作KH⊥BC交BC于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形我們斜邊上的中線等于斜邊的一半，得CK=BK=AK=PK，即點(diǎn)A、B、P、C在以K為圓心， AP為半徑的圓上，當(dāng)定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動(dòng)，如圖，當(dāng)∠MAN=60時(shí)，∠BKC=120，BC=2，即△BKC是一個(gè)頂角為120°，底邊BC=2的等腰三角形，不難求出CK=BK=AP=，即AP=，所以在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離保持不變．

試題解析：

解（1）①根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，∵∠A=135°，

∴優(yōu)弧所對(duì)的角∠BOC=270°，

∴劣弧BC所對(duì)的∠BOC=90°；

在Rt△BOC中，由勾股定理可知BC==.

②

證明：如圖所示，延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)E，連接BE，

∴∠A=∠E，

∵CE為0的直徑，

∴∠CBE=90°，

∴sinA=sinE==.

（2）

連接AP，取AP的中點(diǎn)K，分別連接CK、BK，作KH⊥BC交BC于點(diǎn)H，

∵BP⊥AM，CP⊥AN，K是AP的中點(diǎn)，

∴CK=BK=AK=PK，

∴點(diǎn)A、B、P、C在以K為圓心， AP為半徑的圓上，

∵∠MAN=60，

∴∠BKC=120，

∴∠KBC=30°，

∵BC=2，

∴BH=CH=，

∵cos30°==，

∴BK=，

∴CK=BK=AP=，即AP=.

所以在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離保持不變．