Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1，是線段上一點(diǎn)，連接，若的值最小，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖2，在（2）的前提下，直線與直線的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，若是拋物線上一點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，是否存在以，，，為頂點(diǎn)且為邊的平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)或(，)或(，)

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求解；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，利用∠OBA的正弦值求得DG=BD，則C、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，CD+BD的值最小，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）先求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，分CQ為對(duì)角線、CM為對(duì)角線、CN為對(duì)角線三種情況討論即可求解．

（1）令，則，

解得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，

∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

∴將A(4，0)、C(-1，0)的坐標(biāo)代入得：

，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：；

（2）令，則，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)，

∴OA=4，OB=3，

∴,

過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，如圖：

∵，

∴DG=BD，

當(dāng)C、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，CD+BD的值最小，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，0)，

∴OC=1，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；

（3）設(shè)直線CD的解析式為：，

將點(diǎn)C(-1，0)的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

∴直線CD的解析式為：，

解方程組得：，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

∵PQ∥y軸，

當(dāng)時(shí)，，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

當(dāng)CQ為對(duì)角線時(shí)，C、Q中點(diǎn)與M、N中點(diǎn)相同，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則，

解得：，

當(dāng)時(shí)，，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，C、M中點(diǎn)與Q、N中點(diǎn)相同，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則，

解得：，

當(dāng)時(shí)，，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

當(dāng)CN為對(duì)角線時(shí)，C、N中點(diǎn)與M、Q中點(diǎn)相同，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則，

解得：，

當(dāng)時(shí)，，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

綜上可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)或(，)或(，)