Question

【題目】將一塊含有45°的三角板ABC的頂點A放在⊙O上，且AC與⊙O相切于點A（如圖1），將△ABC從點A開始，繞著點A順時針旋轉，設旋轉角為α（0°＜α＜135°），旋轉后，AC、AB分別與⊙O交于點E，F，連接EF（如圖2）．已知AC=8，⊙O的半徑為4．

（1）在旋轉過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②的長；③∠AFE的度數；④點O到EF的距離．其中不變的量是___________________（填序號）；

（2）當α＝________°時，BC與⊙O相切（直接寫出答案）；

（3）當BC與⊙O相切時，求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）90°；（3）16．

【解析】

試題（1）連接EO，FO，可知三角形EOF為等腰直角三角形，作OD垂直EF于D，由垂徑定理，勾股定理可得出結論；（2）因為AC=8，而⊙O的半徑為4．所以當BC與⊙O相切時，△ACB繞點A旋轉90°后AC恰為⊙O直徑，即旋轉角α為90度時BC與⊙O相切；（3）當BC與⊙O相切時，如圖：點C與點E重合，AC為⊙O直徑，利用三角形AEF是等腰直角三角形得出結果．

試題解析：（1）連接EO，FO，因為∠A=45，所以∠EOF=2∠A=90，因為EO=FO，所以三角形EOF為等腰直角三角形，作OD垂直EF于D，由垂徑定理得：OD垂直平分EF，三角形ODE和三角形ODF是兩個全等的等腰直角三角形，所以EF=OF，OD=OF，而半徑OF是一定的，所以弦EF的長不變，點O到EF的距離即OD不變，故①④正確，又因為半徑不變，圓心角∠EOF=90不變，所以的長不變，故②正確，而∠AFE的度數等于弧AE度數的一半，A點不變，E是旋轉中AC與⊙O交點，可變，故弧AE度數可變，所以∠AFE的度數可變，故③錯誤，所以不變的序號應是①②④；（2）因為圓的切線垂直于過切點的半徑，而∠ACB=90當BC與⊙O相切時，因為AC=8，而⊙O的半徑為4．所以△ACB繞點A旋轉90°后AC恰為⊙O直徑，即旋轉角α為90度時BC與⊙O相切；（3）如右圖，

當BC與⊙O相切時，依題意可知，△ACB旋轉90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，∵AC為⊙O直徑，∴∠AFE=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠FCA=45°．∴∠BAC=∠FCA，∴AF=EF．∵AC=8，∴AF=EF=4，∴S△AEF=×（4）2=16．故△AEF的面積是16．．