Question

【題目】（9分）探究題：如圖：

（1）△ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，動點P在邊BC上，若這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，連接AP，BD交于點Q，兩點運動過程中AP=BD成立嗎？請證明你的結(jié)論；

（2）如果把原題中“動點D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D，P在射線CA和射線BC上運動”，其他條

件不變，如圖（2）所示，兩點運動過程中∠BQP的大小保持不變．請你利用圖（2）的情形，

求證：∠BQP=60°；

（3）如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動點D，P在運動過程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）DE=PE

【解析】

試題（1）由△ABC為等邊三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，繼而證得結(jié)論；

（2）同理可證得△ABP≌△BCD（SAS），則可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）首先過點D作DG∥AB交BC于點G，則可證得△DCG為等邊三角形，繼而證得△DGE≌△PBE（AAS），則可證得結(jié)論．

試題解析：解：（1）成立．

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

根據(jù)題意得：CD=BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴AP=BD；

（2）根據(jù)題意，CP=AD，

∴CP+BC=AD+AC，

即BP=CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴∠APB=∠BDC，

∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，

∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．

理由：過點D作DG∥AB交BC于點G，

∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，

∴△DCG為等邊三角形，

∴DG=CD=BP，

在△DGE和△PBE中，

，

∴△DGE≌△PBE（AAS），

∴DE=PE．