Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長(zhǎng)線，連DE交BC于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G．

（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度數(shù)；

（2）若BD＝CE，求證：FG＝BF+CG．

Answer 1

【答案】（1）55°；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CEG，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠CEF，即可得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EC=EH，得出BD=EH，再利用“角角邊”證明△BDF和△HEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=FH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CG=HG，即可得到結(jié)論．

（1）∵∠A=50°，∴∠C（180°﹣∠A）（180°﹣50°）=65°．

∵EG⊥BC，∴∠CEG=90°﹣∠C=90°﹣65°=25°．

∵∠A=50°，∠D=30°，∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°，∴∠GEF=∠CEF﹣∠CEG=80°﹣25°=55°；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，則∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EHC=∠C，∴EC=EH．

∵BD=CE，∴BD=EH．

在△BDF和△HEF中，∵，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF=FH．

又∵EC=EH，EG⊥BC，∴CG=HG，∴FG=FH+HG=BF+CG．