Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CBF＝∠CAB．

（1）求證：直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD的長(zhǎng)；

（3）試探究FB、FD、FA之間的關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3），見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（2）運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，并用勾股定理求出AD.
（3）利用已知條件證得△ABF∽△BDF，就可以得出三條線(xiàn)段F之間的關(guān)系．

解：(1)證明：連結(jié).

∵是的直徑

∴

∴

∵ ∴

∵∴

∴,即

∴

∴直線(xiàn)是的切線(xiàn).

（2）連接，則為直角三角形.

∴ ∴

由勾股定理可得;

（3）

證明：∵

∴

∴

∴