Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG、PF相交于點(diǎn)O．

（1）若AP=1，則AE= ；

（2）①求證：點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到AB邊的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②；（3）．

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余關(guān)系證出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AE的長(zhǎng)；

（2）①A、P、O、E四點(diǎn)共圓，即可得出結(jié)論；

②連接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周長(zhǎng)點(diǎn)O在AC上，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，O為AC的中點(diǎn)，即可得出答案；

（3）設(shè)△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，由三角形中位線定理得出MN=AE，設(shè)AP=x，則BP=4﹣x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出AE的表達(dá)式，由二次函數(shù)的最大值求出AE的最大值為1，得出MN的最大值=即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE=，

故答案為： ；

（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，

∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四點(diǎn)共圓，

∴點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上；

②連接OA、AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，

∵A、P、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴點(diǎn)O在AC上，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，O為AC的中點(diǎn)，OA=AC=，

即點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；

（3）設(shè)△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，如圖2所示：

則MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，

設(shè)AP=x，則BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE= =，

∴x=2時(shí)，AE的最大值為1，此時(shí)MN的值最大=×1=，

即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為．