【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=6,∠ACB>90°,∠ABC的平分線交AC于點D,E是AB上一點,且BE=BC,CF∥ED交BD于點F,連接EF,ED.
(1)求證:四邊形CDEF是菱形.
(2)當∠ACB= 度時,四邊形CDEF是正方形,請給予證明;并求此時正方形的邊長。
【答案】(1)詳見解析;(2)當∠ACB=120度時,四邊形CDEF是正方形,證明見解析,此時正方形的邊長為 .
【解析】
(1)先證△CBD≌△EBD,由全等三角形的性質(zhì)得DE=DC,∠BDC=∠BDE,同理△BCF≌△BEF,EF=CF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CFD=∠BDE,等量代換得CFD=∠BDC,可得CF=CD,根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形可得結(jié)論;
(2)當∠ACB=120度時,四邊形CDEF是正方形.由等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠ABC=30°,由角平分線得∠CBD=∠EBD=15°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BEF=∠A=30°,再由三角形外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠EBD+∠BEF=45°,由菱形的性質(zhì)可證出∠EFD=∠EDF=45°,則∠FED=90°,菱形CDEF是正方形;設正方形CDEF的邊長為x,在Rt△ADE中,利用30°角的直角三角形的性質(zhì)表示出AD=x,由AB=AC=6可得AD=6-x,則6-x =x,解方程即可求得正方形的邊長.
(1)證明:∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠EBD,
在△CBD和△EBD中
∴△CBD≌△EBD(SAS)
∴DE=DC,∠BDC=∠BDE
同理△BCF≌△BEF
∴EF=CF
∵CF∥ED ∴∠CFD=∠BDE
∴∠CFD=∠BDC
∴CF=CD
∴EF=CF=CD=DE
∴四邊形CDEF是菱形
(2)當∠ACB= 120 度時,四邊形CDEF是正方形
證明:∵AC=BC ∠ACB= 120°
∴∠A=∠ABC=30°
∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠EBD=15°
∵四邊形CDEF是菱形
∴EF∥AC
∴∠BEF=∠A=30°
∴∠EFD=∠EBD+∠BEF=15°+30°=45°,
∵EF=ED
∴∠EFD=∠EDF=45°
∴∠FED=90°
∴菱形CDEF是正方形.
設正方形CDEF的邊長為x,
在Rt△ADE中,∠A=30° ∴AE=2x, AD=,
∵AD+CD=AC=6
∴+x=6 ∴x=
∴正方形CDEF的邊長為.
故答案為:(1)詳見解析;(2)當∠ACB=120度時,四邊形CDEF是正方形,證明見解析,此時正方形的邊長為 .
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】自從新冠肺炎疫情爆發(fā),我國高度重視并采取了強有力的措施進行防控,像鐘南山爺爺和李蘭娟奶奶等無數(shù)白衣天使為保衛(wèi)大家的安全奮斗在抗疫一線. 武漢是疫情最先爆發(fā)的地區(qū),“一方有難,八方支援”是中華傳統(tǒng)美德,為了幫助武漢人民盡快度過難關,某校七年級全體同學參加了捐款活動.現(xiàn)隨機抽查了部分同學捐款的情況統(tǒng)計如圖所示:
(1)在本次調(diào)查中,一共抽查了_________名學生;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖,并計算在扇形統(tǒng)計圖中,“捐款 20元”對應的圓心角度數(shù)是 度;
(3)在七年級600名學生中,捐款15元以上(不含15元)的學生估計有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】利用我們學過的知識,可以得出下面這個優(yōu)美的等式:
;該等式從左到右的變形,不僅保持了結(jié)構(gòu)的對稱性,還體現(xiàn)了數(shù)學的和諧、簡潔美.
⑴.請你證明這個等式;
⑵.如果,請你求出 的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°, ∠EGF的頂點G在菱形對角線AC上運動,角的兩邊分別交邊BC、CD于E、F.
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(1)如圖甲,當頂點G運動到與點A重合時,求證:EC+CF=BC;
(2)知識探究:
①如圖乙,當頂點G運動到AC的中點時,請直接寫出線段EC、CF與BC的數(shù)量關系(不需要寫出證明過程);
②如圖丙,在頂點G運動的過程中,若,探究線段EC、CF與BC的數(shù)量關系;
(3)問題解決:如圖丙,已知菱形的邊長為8,BG=7,CF=,當>2時,求EC的長度。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°,沿山坡向上走到P處再測得C的仰角為45°,已知OA=200米,山坡坡度為 (即tan∠PAB= ),且O,A,B在同一條直線上,求電視塔OC的高度以及此人所在的位置點P的垂直高度.(側(cè)傾器的高度忽略不計,結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形中,平分,交于點,且,延長與的延長線交于點,連接,.下列結(jié)論:①;②是等邊三角形;③;④;⑤中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長.
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