【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無(wú)論m取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:
(2)若x1 , x2是原方程的兩根,且|x1﹣x2|=2 ,求m的值,并求出此時(shí)方程的兩根.
【答案】
(1)證明:∵△=(m+3)2﹣4(m+1)
=(m+1)2+4,
∵無(wú)論m取何值,(m+1)2+4恒大于0,
∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)∵x1,x2是原方程的兩根,
∴x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1,
∵|x1﹣x2|=2 ∴(x1﹣x2)2=(2 )2,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=8,
∴[﹣(m+3)]2﹣4(m+1)=8∴m2+2m﹣3=0,
解得:m1=﹣3,m2=1.
當(dāng)m=﹣3時(shí),原方程化為:x2﹣2=0,
解得:x1= ,x2=﹣ ,
當(dāng)m=1時(shí),原方程化為:x2+4x+2=0,
解得:x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣
【解析】(1)根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號(hào)來(lái)判定該方程的根的情況;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1;然后由已知條件“|x1﹣x2|=2 ”可以求得(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=8,從而列出關(guān)于m的方程,通過(guò)解該方程即可求得m的值;最后將m值代入原方程并解方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí),掌握根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當(dāng)△>0時(shí),一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí),一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,以及對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的理解,了解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,1),與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且tan∠ABO=3,那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F(xiàn)是DE的中點(diǎn),H是AE的中點(diǎn),G是BD的中點(diǎn).
(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,通過(guò)觀(guān)察和測(cè)量,猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線(xiàn)上時(shí),其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請(qǐng)證明,不成立請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫(xiě)出結(jié)論,不用證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用配方法解下列方程時(shí),配方錯(cuò)誤的是( )
A.x2+2x﹣99=0化為(x+1)2=100
B.
C.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若我們規(guī)定三角“”表示為:abc;方框“”表示為:(xm+yn).例如:=1×19×3÷(24+31)=3.請(qǐng)根據(jù)這個(gè)規(guī)定解答下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算:= ______ ;
(2)代數(shù)式為完全平方式,則k= ______ ;
(3)解方程:=6x2+7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng),第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,1),第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0),第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,2),…,按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,經(jīng)過(guò)第2011次運(yùn)動(dòng)后,動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(,),將線(xiàn)段OP0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP0的2倍,得到線(xiàn)段OP1;又將線(xiàn)段OP1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP1的2倍,得到線(xiàn)段OP2;如此下去,得到線(xiàn)段OP3,OP4,…,OPn(n為正整數(shù)),則點(diǎn)P2017的坐標(biāo)為( )
A. (,) B. (0,22018) C. (,) D. (22018,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形,OC與x軸正半軸的夾角為15°,點(diǎn)B在拋物線(xiàn)y=ax2(a<0)的圖象上,則a的值為
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