【題目】如圖,AOB=60°,分別引射線OC、OD、OE,使OD平分BOC,OE平分∠AOD.

(1)若BOC=20°,請依題意補全圖形,并求BOE的度數(shù);

(2)若BOC=α(其中α是小于60°的銳角),請直接寫出BOE的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示).

【答案】(1)第一種情況:當CO在AOB外部時,∠BOE=25°;第二種情況:當CO在AOB內(nèi)部時,∠BOE==35°;(2)①當CO在AOB外部時,第一種情況:當CO在AOB外部時,∠BOE=30°﹣α;第二種情況:當CO在AOB內(nèi)部時,∠BOE30°+α.

【解析】

(1)分為兩種情況:當CO在∠AOB外部時和當CO在∠AOB內(nèi)部時,求出∠AOC、BOD的度數(shù),求出∠AOD,根據(jù)角平分線求出∠AOE,即可求出答案;
(2)分為兩種情況:當CO在∠AOB外部時和當CO在∠AOB內(nèi)部時,求出∠AOC、BOD的度數(shù),求出∠AOD,根據(jù)角平分線求出∠AOE,即可求出答案.

(1)第一種情況:當CO在AOB外部時,

∵∠AOB=60°,∠BOC=20°,

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°,

OD平分∠BOC,

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=10°,

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+10°=70°,

OE平分∠AOD,

∴∠AOE=∠AOD=35°,

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣35°=25°;

第二種情況:當CO在AOB內(nèi)部時,

∵∠AOB=60°,∠BOC=20°,

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣20°=40°,

OD平分∠BOC,

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=10°,

∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣10°=50°,

OE平分∠AOD,

∴∠AOE=∠AOD=25°,

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣25°=35°;

(2)①當CO在AOB外部時,第一種情況:當CO在AOB外部時,

∵∠AOB=60°,∠BOC=α,

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+α,

OD平分∠BOC,

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=,

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+,

OE平分∠AOD,

∴∠AOE=∠AOD=30°+α,

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣(30°+α)=30°﹣α;

第二種情況:當CO在AOB內(nèi)部時,

∵∠AOB=60°,∠BOC=α,

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣α,

OD平分∠BOC,

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=,

∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣,

OE平分∠AOD,

∴∠AOE=∠AOD=30°﹣α,

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣(30°﹣α)=30°+α.

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