Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=﹣與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接CM，將線段MC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD，BD．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；

（2）①直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示），并求點(diǎn)D落在直線l上時(shí)的t的值；

②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段CD長(zhǎng)度的最小值；

（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在直線l上是否存在點(diǎn)P，使得△BDP是等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值為；（3）P（2，﹣），理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系數(shù)法可求直線l的表達(dá)式；

（2）分當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)行討論可求D點(diǎn)坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求得t的值；線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段CD長(zhǎng)度的最小值；

（3）分當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3≤t≤4時(shí)，進(jìn)行討論可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

由解析式得C（0，），

設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得b=mk﹣，

故直線l的表達(dá)式為y=﹣x+；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖：

由題意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線垂足為N，

∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，

∴∠MCO=∠DMN，

在△MCO與△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN，

∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，

OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，

∴D（t﹣3+，t﹣3）．

綜上得，D（t﹣3+，t﹣3）．

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得t=6﹣2，

線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，

∵M在AB上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根據(jù)勾股定理得CD最小；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，即0＜t＜3時(shí)，

∵tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°，

∵△BDP是等邊三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，

=，解得t=3﹣，

經(jīng)檢驗(yàn)t=3﹣是此方程的解，

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)Q，易知△PQB≌△DNB，

∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；

同理，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3≤t≤4時(shí)，

∵△BDP是等邊三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，

=，解得t=3﹣，

經(jīng)檢驗(yàn)t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合題意，舍）．

故P（2，﹣）．