Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過點(diǎn)（﹣1，），直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式．

（2）對（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在﹣1＜x＜3時，請寫出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說明理由）

（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點(diǎn)G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．

（注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）

附：閱讀材料

   任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．

   即：設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，

   則：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=

   能靈活運(yùn)用這種關(guān)系，有時可以使解題更為簡單．

   例：不解方程，求方程x²﹣3x=15兩根的和與積．

   解：原方程變?yōu)椋簒²﹣3x﹣15=0

∵一元二次方程的根與系數(shù)有關(guān)系：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=

∴原方程兩根之和=﹣=3，兩根之積==﹣15．

Answer 1

（1）解：由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

因此二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=ax²+1．

∵拋物線y=ax²+1過點(diǎn)（﹣1，），

∴=a+1．

解得：a=．

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²+1．

（2）解：當(dāng)x=﹣1時，y=，

當(dāng)x=0時，y=1，

當(dāng)x=3時，y=×3²+1=，

結(jié)合圖1可得：當(dāng)﹣1＜x＜3時，y的取值范圍是1≤y＜．

（3）①證明：∵△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，

∴GP平分∠AGB．

∴直線GP是∠AGB的對稱軸．

過點(diǎn)A作GP的對稱點(diǎn)A′，如圖2，

則點(diǎn)A′一定在BG上．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣x₁，y₁）．

∵點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直線y=kx+2上，

∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣x₁，kx₁+2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，kx₂+2）．

設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．

∵點(diǎn)A′（﹣x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直線BG上，

∴．

解得：．

∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直線y=kx+2與拋物線y=x²+1的交點(diǎn)，

∴x₁、x₂是方程kx+2=x²+1即x²﹣4kx﹣4=0的兩個實(shí)數(shù)根．

∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=﹣4．

∴n==﹣2+2=0．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0）．

∴在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．

②解：過點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，過點(diǎn)B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，

∵直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．

∴PG=2．

∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG

=PG•AC+PG•BD

=PG•（AC+BD）

=×2×（﹣x₁+x₂）

=x₂﹣x₁

=

=

=

=4．

∴當(dāng)k=0時，S_△ABG最小，最小值為4．

∴△GAB面積的最小值為4．