已知如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于B(1,0)、C(4,0)兩點(diǎn),與y軸的正半軸相交于A點(diǎn),過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A.
(1)請(qǐng)求出點(diǎn)A坐標(biāo)和⊙P的半徑;
(2)請(qǐng)確定拋物線的解析式;
(3)M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線MB交⊙P于點(diǎn)D.若△AOB與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似,求MB•MD的值.(先畫(huà)出符合題意的示意圖再求解).
分析:(1)利用切割線定理以及矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)A坐標(biāo)和⊙P的半徑;
(2)將B(1,0)、C(4,0),A(0,2)帶入y=ax2+bx+c求出a,b,c進(jìn)而得出解析式即可;
(3)根據(jù)題意∠OAB=∠ADB,得出△AOB和△ABD相似有兩種情況進(jìn)而得出即可.
解答:解:(1)∵OA是⊙P的切線,OC是⊙P的割線.
∴OA2=OB×OC,
即OA2=1×4,
∴OA=2,
即點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)
如圖1,連接PA,過(guò)P作PE⊥CO交OC于E顯然,四邊形PAOE為矩形,
故PA=OE,
∵PE⊥BC,
∴BE=CE,
又∵BC=3,
∴BE=
3
2

∴PA=OE=OB+BE=1+
3
2
=
5
2
,
即⊙P的半徑長(zhǎng)為
5
2


(2)將B(1,0)、C(4,0),A(0,2)帶入y=ax2+bx+c得:
a+b+c=0
16a+4b+c=0
c=2

解得:
a=
1
2
b=-
5
2
c=2
,
故拋物線的解析式是:y=
1
2
x2-
5
2
x+2


(3)根據(jù)題意∠OAB=∠ADB,
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng),
如圖1,此時(shí)AD是⊙P的直徑則AB=
5
,AD=5
∴BD=2
5
,
∵Rt△AMB∽R(shí)t△DAB,
∴MA:AD=AB:BD,
即MA=
AB•AD
BD
=
5
2

∵Rt△AMB∽R(shí)t△DMA,
∴MA:MD=MB:MA
即MB•MD=MA2=
25
4
,
②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng),
如圖2,此時(shí)BD是⊙P的直徑,所以直線MB過(guò)P點(diǎn)
∵B(1,0),P(
5
2
,2),
∴直線MB的解析式是:y=
4
3
x-
4
3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-
4
3
),
∴AM=
10
3
,
由△MAB∽△MDA,
得MA:MD=MB:MA
∴MB•MD=MA2=
100
9
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)已知得圖形進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-1,0),且經(jīng)過(guò)直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上,且OM⊥BC,垂足為D,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知如圖,拋物線y=ax2+bx-a的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,-4),直精英家教網(wǎng)線x=m(m>1)與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在直線x=m(m>1)上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限),使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似,求P點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,試問(wèn):拋物線y=ax2+bx-a是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q,請(qǐng)求出m的值;如果不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,拋物線y=x2-x-1與y軸交于C點(diǎn),以原點(diǎn)O為圓心,以O(shè)C為半徑作⊙O,交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于另一點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)P為拋物線y=x2-x-1上的一點(diǎn),作PM⊥x軸于點(diǎn)M,求使△PMB∽△ADB時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,化簡(jiǎn)
(a+c)2
+
(c-b)2
的結(jié)果為①c,②b,③b-a,④a-b+2c,其中正確的有(  )
A、一個(gè)B、兩個(gè)C、三個(gè)D、四個(gè)

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