已知如圖,拋物線y=ax2+bx-a的圖象與x軸交于A、B兩點,點A在點B的左邊,頂點坐標為C(0,-4),直精英家教網(wǎng)線x=m(m>1)與x軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在直線x=m(m>1)上有一點P(點P在第一象限),使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似,求P點坐標(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,試問:拋物線y=ax2+bx-a是否存在一點Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q,請求出m的值;如果不存在,請簡要說明理由.
分析:(1)由于拋物線的頂點坐標在y軸上,且坐標為(0,-4),則拋物線的對稱軸為y軸,即b=0,a=4,由此確定該拋物線的解析式.
(2)設(shè)出點P的縱坐標,根據(jù)拋物線的解析式,可求得B點的坐標,進而可得OC=4OB;△BOC和△ODB中,可用m表示出BD的長,若兩個直角三角形相似,那么直角邊對應(yīng)成比例,即PD=4BD或BD=4PD,由此求得點P的縱坐標,進而可得到點P的坐標.
(3)若四邊形ABPQ為平行四邊形,那么PQ=AB=2,那么將點P的坐標向左平移2個單位即可得到點Q的坐標,然后將點Q的坐標代入拋物線的解析式中即可求得m的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-a的頂點坐標為C(0,-4),
∴b=0,a=4;
∴拋物線的解析式為y=4x2-4.(2分)

(2)設(shè)P(m,n),由4x2-4=0,
∴x=±1,
∴A(-1,0),B(1,0);
∵△OBC∽△PBD,
若∠OCB=∠PBD,則
OB
PD
=
OC
BD
,
1
n
=
4
m-1

n=
1
4
(m-1)
,
此時P(m,
m-1
4
)
;(4分)
若∠OCB=∠BPD,則
OB
BD
=
OC
PD

1
m-1
=
4
n
;
∴n=4(m-1),
此時P(m,4(m-1)).(6分)

(3)假設(shè)拋物線存在點Q(x,y)使四邊形ABPQ為平行四邊形,
當(dāng)P(m,4m-4)時,AP的中點R的坐標為:R(
m-1
2
,2(m-1))

又∵R又是BQ的中點,
x=m-2
y=4(m-1)
,Q(m-2,4(m-1));
∵Q在拋物線上,
∴4(m-1)=4(m-2)2-4,
∴m-1=m2-4m+4-1,
∴m2-5m+4=0,
∴m=4或m=1(舍去);(8分)
當(dāng)P點坐標為(m,
m-1
4
)
時,
同理,R(
m-1
2
m-1
8
)
,Q(m-2,
m-1
4
)
;
∵點Q在拋物線上,
m-1
4
=4•(m-2)2-4
;
∴16m2-65m+49=0,m=
49
16
或m=1(舍去);(10分)
∴當(dāng)m=4或
49
16
時,AP與BQ互相平分,四邊形ABPQ是平行四邊形;
∴m=4或
49
16
為所求.(11分)
(3)另解:可用AB=PQ=2,
Q(m-2,
m-1
4
)
或Q(m-2,4(m-1)),
∵點Q在拋物線上,
或4(m-2)2-4=4(m-1);
解之m=
49
16
或m=1,或m=4或m=1,
∵m>1,
∴m=4或
49
16
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識;在相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊不確定的情況下,一定要注意分類討論,以免漏解.
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+
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(2)請確定拋物線的解析式;
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