Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，PE∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E連接AP，交直線BC于點(diǎn) D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)AD＝2PD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求線段PE的最大值；

（4）當(dāng)線段PE最大時(shí)，若點(diǎn)F在直線BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，4）或P（2，3）；（3）（﹣）或（）

【解析】

（1）由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)已知，可把拋物線的解析式設(shè)成交點(diǎn)式，再代入另一已知點(diǎn)坐標(biāo)便可求出解析式；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點(diǎn)F，用待定系數(shù)法求出BC的解析式，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，進(jìn)而求得AF與PE，由相似三角形的比例線段求得t便可；

（3）根據(jù)PE關(guān)于t的函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值便可；

（4）分兩種情況：①當(dāng)F點(diǎn)在PE的左邊時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，過E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接OH，通過三角形相似求出MF的值便可；②將求得的F點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)于PM對稱點(diǎn)便是另一F點(diǎn)．

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

則3＝a×1×（﹣3），

∴a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點(diǎn)F，如圖1，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），

則AF∥PE，

設(shè)BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，

∴E（t，﹣t+3），F（﹣1，4），

∴AF＝4，PE＝﹣t2+3t，

∵AF∥PE，

∴△AFD∽△PED，

∴，

∵AD＝2PD，

∴，

解得，t＝1或2，

∴P（1，4）或P（2，3）；

（3）∵PE的解析式為：PE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜3），

∴當(dāng)t＝時(shí)，PE的值最大為；

（4）①當(dāng)F點(diǎn)在PE的左邊時(shí)，

過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，過E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接OH，

由（3）知，當(dāng)PE取最大值時(shí)，P（，），PE＝，E（，），

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴BE＝EM＝，∠PEM＝45°，

∴PM＝EM＝，

∵AC＝，

∴OH＝CH＝，

OG＝，

∴HG＝，∠OHG＝2∠ACO，

∵∠EFP＝2∠ACO，

∴∠EFP＝∠OHG，

∵∠OGH＝∠PMF，

∴△OGH∽△PMF，

∴，即，

∴MF＝，

∴BF＝BE+EM+MF＝，

∴FQ＝BQ＝BF＝，

∴OQ＝，

∴F（﹣，），

②當(dāng)F點(diǎn)在PE的右邊時(shí)，此時(shí)的F點(diǎn)恰好與（﹣，）關(guān)于PM對稱，易求此時(shí)F（，）．

故F的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．