Question

【題目】已知：在菱形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 CD 邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EF AC 于點(diǎn) F，交 BC 邊于點(diǎn) G， 交 AB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) H．

(1)如圖 1，求證：BH=DE；

(2)如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 是 CD 邊中點(diǎn)時(shí)，連接對(duì)角線 BD 交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) O，連接 OG、OE，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖 2 中所有的平行四邊形(菱形除外）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）平行四邊形BHED，平行四邊形BHGO，平行四邊形OGED，平行四邊形OBGE．

【解析】

（1）證△GFC≌△EFC（ASA），得出CG=CE，∠CGF=∠CEF，證出∠H=∠BGH，得出BH=BG，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF=∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC=∠EFC=90°，
在△GFC和△EFC中，

，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG=CE，∠CGF=∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠CEF，
∵∠BGH=∠CGF，
∴∠H=∠BGH，
∴BH=BG，
∵BC=CD，CG=CE，
∴BC-CG=CD-CE，
即BG=DE；
（2）所有的平行四邊形（菱形除外）為平行四邊形BHED、平行四邊形BHGO、平行四邊形OGED、平行四邊形OBGE；

理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG=CE，BH=BG=DE，
∴四邊形BHED為平行四邊形，
∵點(diǎn)E是CD邊中點(diǎn)，BC=CD，
∴CE=DE=BG=CG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB=OD，
∴OE、OG都是△BCD的中位線，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG=CD=DE=BH，OE=BC=BG，
∴四邊形OBGE、四邊形BHGO、四邊形OGED都是平行四邊形．