【題目】(本題7)如圖,在RtABC,ACB=90°,EAC上一點(diǎn),且AE=BC,過點(diǎn)AADCA,垂足為A,且AD=AC,AB、DE交于點(diǎn)F.

(1)判斷線段ABDE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;

(2)連接BD、BE,若設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,請利用四邊形ADBE的面積證明勾股定理.

【答案】(1)AB=DE,ABDE.理由見解析;(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)垂直的定義可證得∠DAE=∠ACB=90°,然后根據(jù)ASA可證△ABC≌△DEA,從而得證AB=DE,且∠3=∠1,然后根據(jù)直角三角形的內(nèi)角和等量代換可證得AB⊥DE;

2)根據(jù)三角形的面積和四邊形的面積,可知S四邊形ADBE= SADE+ SBDES四邊形ADBE=SABE+SADB=a2b2可得證符合勾股定理的逆定理.

試題解析:(1)解:AB=DE, AB⊥DE

如圖2∵AD⊥CA,∴∠DAE=∠ACB=90°

∵AE=BC,∠DAE=∠ACB,AD=AC∴△ABC≌△DEA,∴AB=DE

∠3=∠1∵∠DAE=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°

∴∠AFE=90°,∴AB⊥DE

2)如圖2∵S四邊形ADBE= SADE+ SBDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2,

S四邊形ADBE=SABE+SADB=a2b2,

a2b2=c2,∴a2b2=c2

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