Question

【題目】如圖1，D是邊長(zhǎng)為4㎝的等邊△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，DQ⊥AB交邊BC于點(diǎn)Q，RQ⊥BC交邊AC于點(diǎn)R，RP⊥AC交邊AB于點(diǎn)E，交QD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

圖1 圖2

①請(qǐng)說明△PQR是等邊三角形的理由；

②若BD=1.3㎝，則AE=_______㎝（填空）

③如圖2，當(dāng)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合時(shí)，求出BD的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.4cm；（3）.

【解析】

（1）△PQR是等邊△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；（2）靈活運(yùn)用Rt△中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半的知識(shí)；（3）根據(jù)（1）（2）得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），得3DB=AB易求結(jié)果.

解：（1）根據(jù)題意，△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等邊三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4cm，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=（cm）．