Question

【題目】拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）.

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 6個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：先由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后分類討論：①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得P點(diǎn)有1個(gè)；②當(dāng)∠APB=90°，設(shè)P（x，），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，此時(shí)P點(diǎn)有4個(gè)，③當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)．

詳解：解得，

x=±3,

∴A(-3,0)，B(3,0).

①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，如圖1，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，把x=-3代入y=得y=-，所以此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)；

②當(dāng)∠APB=90°，如圖2，設(shè)P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x-3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，

∵PA2+PB2=AB2，

∴（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，

整理得x4-9x2+4=0，所以x2=，或x2=，

所以此時(shí)P點(diǎn)有4個(gè)，

③當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，如圖3，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，把x=3代入y=得y=，所以此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)有6個(gè)．

故選：D．