【題目】如圖1,點A在x軸的負(fù)半軸上,點B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣4),拋物線y=ax2+bx的對稱軸為x=﹣5,該拋物線經(jīng)過點A、B,點E是AB與對稱軸x=﹣5的交點.
(1)如圖1,點P為直線AB下方的拋物線上的任意一點,在對稱軸x=﹣5上有一動點M,當(dāng)△ABP的面積最大時,求|PM﹣OM|的最大值以及點P的坐標(biāo).
(2)如圖2,把△ABO沿射線BA方向平移,得到△CDF,其中點C、D、F分別是點A、B、O的對應(yīng)點,且點F與點O不重合,平移過程中,是否存在這樣的點F,使得以點A、E、F為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,直接寫出點F的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)|PM﹣OM|的最大值=2;P(﹣6,﹣6);(2)存在,點F的坐標(biāo)為:(﹣,)或(﹣5,)或(﹣11,)或(﹣14,7).
【解析】
(1)△ABP的面積S=×PH×(xB﹣xA)=(﹣x﹣5﹣x2﹣x)×(10﹣2)=﹣x2﹣12x﹣20,此時點P(-6,-6),點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點Q(-4,-6),連接OQ交函數(shù)對稱軸于點M,則點M為所求,即可求解;
(2)直線AB的表達(dá)式為:y=-x-5,當(dāng)x=-5時,y=-,即點E(-5,-),則設(shè)圖線向上平移m個單位,則向左平移2m個單位,故點F(-2m,m),而點A(-10,0),即可求解.
(1)函數(shù)的對稱軸為x=﹣5,則點A(﹣10,0),
則函數(shù)表達(dá)式為:y=ax(x+10),將點B的坐標(biāo)代入上式并解得:a=,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2+x,
將點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:
直線AB的表達(dá)式為:y=﹣x﹣5,
過點P作x軸的垂線交AB于點H,設(shè)點P(x,x2+x)、點H(x,﹣x﹣5),
△ABP的面積S=×PH×(xB﹣xA)=(﹣x﹣5﹣x2﹣x)×(10﹣2)=﹣x2﹣12x﹣20,
∵﹣1<0,故當(dāng)x=﹣6時,S有最大值,此時點P(﹣6,﹣6),
點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點Q(﹣4,﹣6),連接OQ交函數(shù)對稱軸于點M,則點M為所求,
同理:直線OQ的表達(dá)式為:y=x,當(dāng)x=﹣5時,y=﹣,即點M(﹣5,﹣);
|PM﹣OM|的最大值=OQ==2;
(2)直線AB的表達(dá)式為:y=﹣x﹣5,當(dāng)x=﹣5時,y=﹣,即點E(﹣5,﹣),
則設(shè)圖線向上平移m個單位,則向左平移2m個單位,
故點F(﹣2m,m),而點A(﹣10,0),
則AF2=(10﹣2m)2+m2,EF2=(2m﹣5)2+(m+)2,AE2=25+;
①當(dāng)AF=EF時,則(10﹣2m)2+m2=(2m﹣5)2+(m+)2,解得:m=;
②當(dāng)AF=AE時,同理可得:m=﹣5或﹣11;
③當(dāng)EF=AE時,同理可得:m=0(舍去)或7;
綜上點F的坐標(biāo)為:(﹣,)或(﹣5,)或(﹣11,)或(﹣14,7).
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于點A(1, 0)和點C.經(jīng)過點A的直線與二次函數(shù)圖像交于另一點B,點B與點C關(guān)于二次函數(shù)圖像的對稱軸對稱.
(1)求一次函數(shù)表達(dá)式;
(2)點P在二次函數(shù)圖像的對稱軸上,當(dāng)△ACP的周長最小時,請求出點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在矩形中,,,點是邊的中點,聯(lián)結(jié),若將沿翻折,點落在點處,聯(lián)結(jié),則______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點,與軸交于點,其頂點為,連接,過點作軸的垂線.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)直線上是否存在點,使的面積等于的面積的3倍?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(4,3),B(3,1),C(1,2),△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點對稱.
(1)寫出A1,B1,C1的坐標(biāo);
(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1;
(3)若點A(4,3)與點M(a﹣2,b﹣4)關(guān)于原點對稱,求關(guān)于x的方程的解.
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【題目】已知拋物線與軸交于A,B兩點(A在B左邊),與軸交于C點,頂點為P,OC=2AO.
(1)求與滿足的關(guān)系式;
(2)直線AD//BC,與拋物線交于另一點D,△ADP的面積為,求的值;
(3)在(2)的條件下,過(1,-1)的直線與拋物線交于M、N兩點,分別過M、N且與拋物線僅有一個公共點的兩條直線交于點G,求OG長的最小值.
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【題目】已知二次函數(shù)
(1)用配方法化成頂點式;
(2)求出頂點坐標(biāo)、對稱軸、最小值;
(3)求出拋物線與x軸、y軸交點坐標(biāo).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出使kx+b<成立的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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