Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于點A（1， 0）和點C．經(jīng)過點A的直線與二次函數(shù)圖像交于另一點B，點B與點C關(guān)于二次函數(shù)圖像的對稱軸對稱．

（1）求一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）點P在二次函數(shù)圖像的對稱軸上，當(dāng)△ACP的周長最小時，請求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x-1；（2）P的坐標(biāo)（2，1）

【解析】

（1）先利用對稱軸方程確定拋物線的對稱軸是直線x=2，再利用拋物線的對稱性確定點B的坐標(biāo)（4，3），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接AB交直線x=2于點P，如圖，利用兩點之間線段最短判斷此時△ACP的周長最小，然后計算自變量為2對應(yīng)的一次函數(shù)值即可得到滿足條件的P的坐標(biāo)．

（1）二次函數(shù)y=ax2-4ax+3的對稱軸是直線x=-=2，

而點C的坐標(biāo)為（0，3），

∵點B與點C關(guān)于二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱．

∴點B的坐標(biāo)（4，3），

把A（1，0）和B（4，3）代入y=kx+b得

，解得，

∴一次函數(shù)表達(dá)式為y=x-1；

（2）連接AB交直線x=2于點P，如圖，

∵點B與點C關(guān)于二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱．

∴PC=PB，

∴PC+PA=PB+PA=AB，

∴此時PC+PA的值最小，△ACP的周長最小，

當(dāng)x=2時，y=x-1=2-1=1，

∴滿足條件的P的坐標(biāo)（2，1）．