【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分別為B、C,設(shè)AB=4,DC=1,BC=4.

(1)求線段AD的長.
(2)在線段BC上是否存在點P,使△APD是等腰三角形?若存在,求出線段BP的長;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:如圖1,過D作DE⊥AB于E點,

AE=4﹣1=3,DE=BC=4,

在Rt△AED中,AD= =5;


(2)解:如圖2,

當AP=AD時,

在Rt△ABP中,BP= =3;

如圖3,

當PA=PD時,

AB2+BP2=CD2+(BC﹣BP)2,即42+BP2=12+(4﹣BP)2

解得BP=

綜上所述,線段BP的長是3或


【解析】(1)根據(jù)已知可知四邊形ABCD是梯形,要解決梯形的問題通過作高,轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決。因此過D作DE⊥AB于E點,可證得BCDE是矩形,就可求出DE和AE的長,再根據(jù)勾股定理在Rt△AED中求出AD的長。
(2)根據(jù)題意可知,分兩種情況,當AP=AD時,在Rt△ABP中,利用勾股定理求出BP的長;當PA=PD時,根據(jù)勾股定理,利用PA2=PD2,建立方程,求解即可。
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的判定和勾股定理的概念,掌握如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊).這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題.

練習冊系列答案
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(已知),

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

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B.k≥﹣ 且k≠0
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D.k> 且k≠0

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(1)求拋物線的解析式;
(2)T是拋物線對稱軸上的一點,且△ATC是以AC為底的等腰三角形,求點T的坐標;
(3)M、Q兩點分別從A、B點以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行,當點M到原點時,點Q立刻掉頭并以每秒 個單位長度的速度向點B方向移動,當點M到達拋物線的對稱軸時,兩點停止運動,過點M的直線l⊥x軸交AC或BC于點P.求點M的運動時間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.

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