Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，，E，M為線段AC上兩個不重合的動點（點E在點M上方，且均不與端點重合），，與BC交于點F，四邊形EMNF為平行四邊形，連結BN.

（1）求直線AC與直線BC的解析式；

（2）若設點F的橫坐標為x，點M的縱坐標為y，當四邊形EMNF為菱形時，請求y關于x的函數解析式及相應x的取值范圍；

（3）請求出當為等腰三角形時，面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線AC解析式為，直線BC解析式為；

（2）y關于x的函數解析式為，x的取值范圍為；

（3）.

【解析】

（1）待定系數法求解析式即可；

（2）利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形的性質，用字母把鄰邊表示出來求解即可；

（3）首先判斷等腰三角形的可能性，大膽設出F，N的坐標，列出平行四邊形的面積的函數，根據二次函數的性質求最大面積.

解：(1) 設直線AC解析式為：，將，代入得，

解得

所以，直線AC解析式為.

設直線BC解析式為：，將，代入得，

解得

所以，直線BC解析式為.

（2）點F的橫坐標為x，且F在直線BC上，

點M的縱坐標為y，且M在直線AC上，

E、F的縱坐標相同，又E在直線AC上，

四邊形EMNF為菱形，

整理得：

E在M上方，即E點縱坐標大于M點縱坐標，

即

又

對兩邊進行開方得，

整理得：

由題知，，即

解得

y關于x的函數解析式為，x的取值范圍為.

（3）由題意當或時，點N在外，不符合題意，

當時，作交EF于點D，

設，，

易得，，，

，

設FN中點為點G，又，

，

∵在△BNF中，

，

，

又，

，

，

，

解得，

由題意，

當時，的面積有最大值，

此時.