Question

【題目】某公司生產(chǎn)一種健身產(chǎn)品在市場上很受歡迎，該公司每年的產(chǎn)量為6萬件，可在國內(nèi)和國外兩個市場全部銷售．若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y1（元）與國外銷售量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為y1=．若在國內(nèi)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤為y2=84元．

（1）求該公司每年在國內(nèi)和國外銷售的總利潤w（萬元）與國外銷售量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

（2）該公司每年在國內(nèi)國外銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值是多少？

（3）該公司計劃從國外銷售的每件產(chǎn)品中捐出2m（1≤m≤4）元給希望工程，從國內(nèi)銷售的每件產(chǎn)品中捐出m元給希望工程，且國內(nèi)銷售不低于4萬件，若這時國內(nèi)國外銷售的總利潤的最大值為520萬元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）當該公司每年的國外銷售量為5萬件，國內(nèi)銷售量為1萬件時，可使公司每年的總利潤最大，最大值是554萬元；（3）m=2

【解析】

（1）由利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)，代入分段函數(shù)解析式，化簡可得解；
（2）結(jié)合（1）分別計算分段利潤函數(shù)的最大值，最后得出最大值即可；
（3）該公司計劃在國內(nèi)銷售不低于4萬件，而該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件，則該公司每年在國外銷售的件數(shù)x的范圍為：0≤x≤2，則總利潤w′=（100-2m）x＋（84-m）（6-x）=（16-m）x＋504-6m．根據(jù)m的取值范圍，x的取值范圍及一次函數(shù)的性質(zhì)，，結(jié)合最大利潤為520萬元，可分析求得．

解：（1）w=y1x＋84（6-x）．

當0≤x≤2時，w=100x＋84（6-x）=16x＋504；

當2≤x≤6時，w=x（-2x＋104）＋84（6-x）=-2x2＋20x＋504．

∴w=．

（2）當0≤x≤2時，w=16x＋504；

∵k =16＞0，當x=2時，w=16x＋504的最大值為536；

當2≤x≤6時，w=-2x2＋20x＋504=-2（x-5）2＋554．

∵a=-2＜0，∴當x=5時取最大值554，

∵554＞536，所以當x=5時取最大值554．

即：當該公司每年的國外銷售量為5萬件，國內(nèi)銷售量為1萬件時，可使公司每年的總利潤最大，最大值是554萬元．

（3）∵該公司計劃在國內(nèi)銷售不低于4萬件，即6-x≥4，則x≤2，

∴該公司每年在國外銷售的件數(shù)x的范圍為：0≤x≤2．

則總利潤w′=（100-2m）x＋（84-m）（6-x）=（16-m）x＋504-6m．

∵1≤m≤4，∴16-m＞0，則當x=2時，w′取得最大值．

依題意得：2（16-m）＋504-6m=536-8m=520，解得：m=2．