【題目】如圖1已知O的半徑為1,PAQ的正切值為,AQO的切線,O從點A開始沿射線AQ的方向滾動,切點為A'

1sin∠PAQ= cos∠PAQ= ;

2如圖1O在初始位置時,圓心O到射線AP的距離為 ;

如圖2,O的圓心在射線AP上時,AA'=

3O的滾動過程中,AA'之間的距離為m圓心O到射線AP的距離為n,nm之間的函數(shù)關系式,并探究當m分別在何范圍時,O與射線AP相交、相切、相離

【答案】1 ;(2)①;②;(3n=,當0m時,⊙OAN相交,當m=時,⊙OAN相切,當m時,⊙OAN相離.

【解析】試題分析:(1)依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得sinPAQ、cosPAQ的值;

(2)①過點OOBAP,垂足為B.依據(jù)同角的余角相等可證明∠AOB=QAP,然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OB的長;②連接OA′.由切線的性質可知∠OA′A=90°,接下來,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AA′的長;

3)當0m2時,如圖3所示:連接OA′,過點OOHAP,垂足為H.在RtOGH中,在RtAA′G中,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得到OG=n、GA′=m,然后依據(jù)OG+GA′=1可得到nm之間的函數(shù)關系式;當m2時,如圖2所示,過點OOHAP,垂足為H,連接A′O并延長交AP與點G.依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知OG=n、,GA′=m,由GA′OG=1可得到nm之間的函數(shù)關系式;接下來,依據(jù)dr的關系可求得當直線AP與⊙O相切,相交、相離時m的取值范圍.

試題解析:

解:(1∵∠PAQ的正切值為,

sinPAQ==,cosQAQ==

故答案為: ,

(2)①如圖1所示:過點OOBAP,垂足為B

AQ是⊙O的切線,

OAAQ,

∴∠OAP+∠PAQ=90°,

OBAP,

∴∠OAP+∠AOB=90°,

∴∠AOB=PAQ,

=cosPAQ=,

OA=1,

OB=,

∴圓心O到射線AP的距離為.

②如圖2所示:連接OA′

∵⊙OAQ相切,

OA′AQ

∴∠OA′A=90°,

=tanA

AA′=2.

故答案為:2

3)當0x2時,如圖3所示:連接OA′,過點OOHAP,垂足為H

∵在RtOGH中,cosO==,

OG=n,

∵在RtAA′G中,tanA==,

GA′=m

OG+GA′=1,

n+m=1,

n=m+

②當x2時,如圖2所示,過點OOHAP,垂足為H,連接A′O并延長交AP與點G

∵∠HGO=AGA′,GA′A=OHD=90°,

∴∠HOG=PAQ,

OG=nGA′=m,

GA′OG=1得,n=m- ,

綜上所述,nm的函數(shù)關系式為n=.

∵當n=1時,⊙OAP相切,此時m- =1,解得m=+,

∴當0m+時,⊙OAN相交,

m=+時,⊙OAN相切;

m+時,⊙OAN相離.

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