【題目】如圖,,,,, 矩形的一邊邊上、分別在,于點

(1)求證;

(2)設(shè)當(dāng)為何值時,矩形的面積最大?并求出最大面積

(3)當(dāng)矩形的面積最大時,該矩形以每秒個單位的速度沿射線勻速向上運動(當(dāng)矩形的邊到達點時停止運動),設(shè)運動時間為,矩形重疊部分的面積為,的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍.

【答案】1)見解析;(2)當(dāng)x時,矩形的面積有最大值5;(3S=

【解析】

1)由條件可得EFBC,根據(jù)相似三角形的判定即可求證;
2)由(1)可得,用x表示出HD,表示出矩形EFPQ的面積,利用二次函數(shù)可求得其最大值;
3)當(dāng)0≤t2時,設(shè)矩形EFPQABAC的交點分別為M、N、R、S,可利用平行表示出MN的長,可表示出△EMS和△NFR的面積,進一步可表示出重疊部分的面積;當(dāng)2≤t≤4時,重疊部分為△P′Q′A,利用平行分別用x表示出其底和高,可表示出面積.

解:(1)∵四邊形EFPQ為矩形,
EFBC,
;
2)∵

,即,
HD=4-,
S矩形EFPQ=EFFQ=EFHD=x4-=-x2+4x,
該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù),故當(dāng)x=時有最大值,最大值為5,
即當(dāng)x時,矩形的面積有最大值5;
3)由(2)可知,當(dāng)矩形面積取最大值時,EF=,FQ=2
①當(dāng)0≤t≤2時,如圖1,設(shè)矩形與AB、AC分別交與點M、N、R、S,與AD交于J、L,連接RS,交ADK,

由題意可知LD=JK=t,則AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t,
又∵RS=
R、SAB、AC的中點,
AK=AD=2,ES=FR=JK=t
又∵MNRS,
,即,
MN=-t,
EM+FN=EF-MN=--t=t,
SEMS+SFNR=ESEM+FN=tt=
S=S矩形EFPQ-SEMS+SFNR=5-;
②當(dāng)2t≤4時,如圖2,設(shè)矩形與AB、AC、AD分別交于點Q′、P′D′,

根據(jù)題意D′D=t,則AD′=4-t,
PQBC,
,即,
解得P′Q′=5-t
S=SAP′Q′=P′Q′AD′=4-t)(5-t=-5t+10
綜上可知S=

練習(xí)冊系列答案
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3)根據(jù)圖象直接寫出:點C關(guān)于直線x2對稱點D的坐標(biāo)   ;若E(m,n)為拋物線上一點,則點E關(guān)于直線x2對稱點的坐標(biāo)為   (用含mn的式子表示).

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A. 24 B. 25 C. 26 D. 27

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(2)在拋物線的對稱軸上,當(dāng)的周長最小時,點的坐標(biāo)為_____________

(3)是第四象限內(nèi)拋物線上的動點,連接.求面積的最大值及此時點的坐標(biāo);

(4)若點是對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點,使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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