Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)的周長最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________；

(3)點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和．求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)是對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）面積最大為，點(diǎn)坐標(biāo)為；（4）存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，,點(diǎn)坐標(biāo)為，，．

【解析】

（1）將點(diǎn)，代入即可求解；
（2）BC與對稱軸的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，據(jù)此可解；
（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，當(dāng)EF最大時(shí)面積的取得最大值，據(jù)此可解；
（4）根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點(diǎn)N使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.分三種情況討論.

解：(1) 拋物線過點(diǎn)，

解得：

拋物線解析式為．

(2) 點(diǎn)，

∴拋物線對稱軸為直線

點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，關(guān)于直線對稱

，

當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，最小．

拋物線解析式為，

∴C（0，-6），

設(shè)直線解析式為

，

解得：

直線：

，

，

故答案為：．

(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，

設(shè)，則

，

當(dāng)時(shí)，面積最大為

，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

(4)存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
設(shè)N（x，y），M（，m），
①四邊形CMNB是平行四邊形時(shí)，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，

∴y= = ，
∴N（，）；
②四邊形CNBM是平行四邊形時(shí)，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；
③四邊形CNMB是平行四邊形時(shí)，CB∥MN，NC∥BM，

，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；

點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（，），（，）．