Question

【題目】在矩形ABCD中，點(diǎn)EFGH分別是邊ABBCCDDA的中點(diǎn)，順次連結(jié)E1F1G1H1所得的四邊形我們稱之為中點(diǎn)四邊形如圖

（1） 求證：四邊形E1F1G1H1是菱形；

（2）設(shè)E1F1G1H1的中點(diǎn)四邊形是 E2F2G2H2，E2F2G2H2的中點(diǎn)四邊形形是E3F3G3H3….En-1Fn-1Gn-1Hn-1的中點(diǎn)四邊形是EnFnGnHn，那么這些中點(diǎn)四邊形形狀的變化有沒有規(guī)律性？ （填“有”或“無” ）若有，說出其中的規(guī)律性

（3） 進(jìn)一步：如果我們規(guī)定：矩形=0，菱形=1，并將矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形用f(0)表示；菱形的中點(diǎn)四邊形用f(1)表示，由題（1）知，f(0)=1，那么

么 f(1)=

Answer 1

【答案】（1）連結(jié)AC、BD，證E1F1∥G1H1，且1 E1F1= G1H1，， E1F1=E1H1;（2）有，菱形與矩形交替出現(xiàn);（3）f(1)=0.

【解析】

（1）利用三角形的中位線性質(zhì)及矩形的對(duì)角線相等即可證明四條邊都相等，即得證；

（2）通過觀察，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)四邊形互為中點(diǎn)四邊形；（3）通過總結(jié)規(guī)律可以得到菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形.

（1）連接AC，BD，

∵點(diǎn)E1，F1，G1，H1分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，

∴E1H1=BD,同理F1G1=BD,H1G1=AC,E1F1=AC,

又在矩形ABCD中，AC=BD，

∴E1H1= F1G1= H1G1= E1F1

∴四邊形E1F1G1H1是菱形；

（2）有，矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形；

（3）∵矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，

即f(0)=1

∴菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形可表示為f(1)=0.