Question

【題目】直角△ABC中，∠C=90°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點P在線段AB上，如圖①，且∠α=50°，則∠1+∠2=　　　　　　；

（2）若點P在斜邊AB上運動，如圖②，則∠α、∠1、∠2之間的關系為　　　　　　；

（3）如圖③，若點P在斜邊BA的延長線上運動（CE＜CD），請直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關系：　　　　　　；

（4）若點P運動到△ABC形外（只需研究圖④情形），則∠α、∠1、∠2之間有何關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）140°（2）∠1+∠2=90°+∠α（3）∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°（4）∠2=90°+∠1﹣α，理由見解析

【解析】試題分析:（1）連接PC，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；

（2）利用（1）中所求得出答案即可；

（3）利用三角外角的性質(zhì)分三種情況討論即可；

（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補角的性質(zhì)可得出．

解：（1）如圖，連接PC，

∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，

∴∠1+∠2=50°+90°=140°，

故答案為：140°；

（2）連接PC，

∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠C=90°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=90°+∠α；

故答案為：∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如圖1，

∵∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2﹣∠1=90°+∠α；

如圖2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；

如圖3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，

∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

故答案為；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

（4）

∵∠PFD=∠EFC，

∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，

∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，

∴∠2=90°+∠1﹣α．

故答案為：∠2=90°+∠1﹣α．