【題目】如圖,四邊形ABCD 是平行四邊形,AB=c,AC=b,BC=a,拋物線 y=ax2+bx﹣c x 軸的一個交點為(m,0).

(1)若四邊形ABCD是正方形,求拋物線y=ax2+bx﹣c的對稱軸;

(2) m=c,ac﹣4b<0,且 a,b,c為整數(shù),求四邊形 ABCD的面積.

【答案】(1)x=;(2).

【解析】

(1)由四邊形ABCD是正方形,可求出ab的關(guān)系,進(jìn)而可根據(jù)對稱軸方程求出對稱軸;

(2)c,0)代入y=ax2+bxc,整理得ac=16﹣4b,結(jié)合ac﹣4b<0,可求b>2,由求根公式得x1=﹣,x2=,>0,得b<4,從而2<b<4,b為整數(shù),所以b=3,然后可求出ac的值,從而可證明四邊形ABCD是菱形,根據(jù)菱形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積.

(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC,AC=AB,

b=a=c,

拋物線y=ax2+bx﹣c的對稱軸為直線x=﹣=﹣=﹣;

(2)∵m=c,

拋物線y=ax2+bx﹣cx軸的一個交點為(c,0).

把(c,0)代入y=ax2+bx﹣cac2+bc﹣c=0,

∴ac+4b﹣16=0,

∴ac=16﹣4b,

∵ac﹣4b<0,

∴16﹣4b﹣4b<0,解得b>2,

對于方程ax2+bx﹣c=0,

∵△=b2+4ac=b2+4(16﹣4b)=(b﹣8)2,

∴x=,解得x1=﹣,x2=,

拋物線與x軸的交點為(﹣,0),(,0),

m=c>0,

>0,解得b<4

∴2<b<4,

b為整數(shù),

∴b=3,

∴ac=16﹣4×3=4,

a、c為整數(shù),

∴a=1,c=4(舍去)或a=2,b=2,

即平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=2,AC=3,

四邊形ABCD為菱形,

連接BDACO,則OA=OC=,BO=DO,

Rt△BOC中,BO==,

∴BD=2OB=,

四邊形ABCD的面積=×3×=

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