Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4），與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式
（2）點(diǎn)F在第三象限的拋物線上，且S△BEF=15，求點(diǎn)F的坐標(biāo)

（3）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AE交拋物線于點(diǎn)Q，若以A，P，Q，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒有，請通過計(jì)算說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，把點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4）代入得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式是y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：設(shè)x軸上有一點(diǎn)G，使得S△EGB=15，

∵EO=3，

∴BG=10，

∵BO=3，

∴OG=7，

∴點(diǎn)G坐標(biāo)是（﹣7，0），

過G作GF∥BE，交第三象限拋物線于點(diǎn)F，

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，

由點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)E坐標(biāo)（0，3）可得y=﹣x﹣3，

∴直線GF解析式為y=﹣x﹣7，

聯(lián)立拋物線和直線GF的解析式得： ，

解得：x=﹣2，y=﹣5或x=5，y=12，

∵點(diǎn)F在第三象限的拋物線上，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣2，﹣5）；

（3）

解：∵直線l∥AC，

∴PQ∥AC且PQ=AC，

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），

則①若點(diǎn)Q在x軸上方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+1，3），

此時(shí)，﹣（x+1）2+2（x+1）+3=3，

解得x1=﹣1（舍去），x2=1，

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），

②若點(diǎn)Q在x軸下方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x﹣1，﹣3），

此時(shí)，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3=﹣3，

整理得，x2﹣4x﹣3=0，

解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）．

【解析】（1）設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，把點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4），分別代入求出a，b，c的值即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)x軸上有一點(diǎn)G，使得S△EGB=15，易求點(diǎn)G的坐標(biāo)，過點(diǎn)G作GF∥BE，交第三象限拋物線于點(diǎn)F，求出直線GF解析式，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，從點(diǎn)A、C的坐標(biāo)關(guān)系，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積，需要了解確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．