【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(1,4),與y軸交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式
(2)點(diǎn)F在第三象限的拋物線上,且SBEF=15,求點(diǎn)F的坐標(biāo)

(3)點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作直線l∥AE交拋物線于點(diǎn)Q,若以A,P,Q,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果沒有,請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,把點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(1,4)代入得:

,

解得:

∴拋物線的解析式是y=﹣x2+2x+3;


(2)

解:設(shè)x軸上有一點(diǎn)G,使得SEGB=15,

∵EO=3,

∴BG=10,

∵BO=3,

∴OG=7,

∴點(diǎn)G坐標(biāo)是(﹣7,0),

過G作GF∥BE,交第三象限拋物線于點(diǎn)F,

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b,

由點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)E坐標(biāo)(0,3)可得y=﹣x﹣3,

∴直線GF解析式為y=﹣x﹣7,

聯(lián)立拋物線和直線GF的解析式得:

解得:x=﹣2,y=﹣5或x=5,y=12,

∵點(diǎn)F在第三象限的拋物線上,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣2,﹣5);


(3)

解:∵直線l∥AC,

∴PQ∥AC且PQ=AC,

∵A(﹣1,0),C(0,3),

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),

則①若點(diǎn)Q在x軸上方,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1,3),

此時(shí),﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3,

解得x1=﹣1(舍去),x2=1,

所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3),

②若點(diǎn)Q在x軸下方,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1,﹣3),

此時(shí),﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3,

整理得,x2﹣4x﹣3=0,

解得x1=2+ ,x2=2﹣ ,

所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1+ ,﹣3)或(1﹣ ,﹣3),

綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3)或(1+ ,﹣3)或(1﹣ ,﹣3).


【解析】(1)設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,把點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(1,4),分別代入求出a,b,c的值即可求出拋物線的解析式;(2)設(shè)x軸上有一點(diǎn)G,使得SEGB=15,易求點(diǎn)G的坐標(biāo),過點(diǎn)G作GF∥BE,交第三象限拋物線于點(diǎn)F,求出直線GF解析式,即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)(3)分點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊和右邊兩種情況,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,從點(diǎn)A、C的坐標(biāo)關(guān)系,用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積,需要了解確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)圖1中∠α的度數(shù)是 , 并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整
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x

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2

3

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9

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3.95

2.63

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