【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.點P為拋物線上一動點,過點P作PQ∥BC交拋物線于點Q,P、Q兩點之間的距離為m.
(1)求直線BC的解析式;
(2)取線段BC的中點M,連接PM.當(dāng)m最小時,判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么特殊的平行四邊形,并說明理由;
(3)設(shè)N為y軸上一點,在(2)的基礎(chǔ)上,當(dāng)∠OBN=2∠OBP時,求點N的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)以點P,O,M,B為頂點的四邊形是菱形;(3)點N的坐標(biāo)為(0, )或(0,- ).
【解析】試題分析:
(1)由拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C可求得A、B、C三點的坐標(biāo),再由B、C的坐標(biāo)即可求得直線BC的解析式為: ;
(2)由PQ∥BC可設(shè)直線PQ的解析式為,由m最小時,點P與點Q重合,可知此時直線與拋物線只有一個交點,由此可求得n的值,進而可解得此時點P的坐標(biāo),結(jié)合點M、O、B的坐標(biāo)即可判斷四邊形BMOP是菱形;
(3)由四邊形BMOP是菱形可知∠MBO =∠OBP,此時,若點N在x軸上方,則由∠OBN=2∠OBP,可得∠OBC=∠CBN,如下圖,作CE⊥BN于點E,證△NCE∽△NBO,結(jié)合其它已知條件即可求得ON的長,從而得到點N的坐標(biāo);利用對稱性即可得到點N在x軸下方時的坐標(biāo).
試題解析:
(1)在中令y=0,則,
解得:x1=1,x2=4;令x=0,則y=2;
∴A(1,0) ,B(4,0),C(0,2);
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則,解得: ,
∴直線BC的解析式.
(2)以點P,O,M,B為頂點的四邊形是菱形,理由如下:
∵m取最小值時P,Q兩點重合,
∴此時直線PQ與拋物線只有一個交點,
由PQ∥BC可設(shè)直線PQ的解析式為,
由,得,
∵PQ和拋物線此時只有一個交點,
∴△=,解得n=0,
∴此時直線PQ的解析式為,方程為,解得: ,
∴此時點P的坐標(biāo)為:(2,-1).
∵點M為Rt△BOC的斜邊BC的中點,
∴OM=BM,M的坐標(biāo)為:(2,1),
∴點P和點M關(guān)于x軸對稱,
∴PM被x軸垂直平分,
∴OM=OP,BM=BP,
∴OM=OP=BM=BP,
∴四邊形POMB為菱形.
(3)∵四邊形POMB為菱形,∴OB平分∠MBP.∴∠MBO =∠OBP.
當(dāng)點N在x軸上方時,如下圖,
∵∠OBN=2∠OBP,
∴∠OBC=∠CBN.
作CE⊥BN,垂足為E.∵∠COB=90,
∴CE=CO=2,易得BO=BE=4,△NCE∽△NBO,
∴.即,
∴NC=,
∴NO=,
∴當(dāng)點N在x軸上方時,點N的坐標(biāo)為(0, ).
根據(jù)對稱性可得,當(dāng)點N在x軸下方時,點N的坐標(biāo)為(0,- ).
綜上所述:點N的坐標(biāo)為(0, )或(0,- ).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,1),B(-3,1),C(-1,4).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形;
(2)將△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2,請在圖中畫出△A2BC2,并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積(結(jié)果保留)
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【題目】某校八年級在一次廣播操比賽中,三個班的各項得分如下表:
服裝統(tǒng)一 | 動作整齊 | 動作準(zhǔn)確 | |
八(1)班 | 80 | 84 | 87 |
八(2)班 | 97 | 78 | 80 |
八(3)班 | 90 | 78 | 85 |
(1) 填空:根據(jù)表中提供的信息,在服裝統(tǒng)一方面,三個班得分的平均數(shù)是_________;在動作準(zhǔn)確方面最有優(yōu)勢的是_________班
(2) 如果服裝統(tǒng)一、動作整齊、動作準(zhǔn)確三個方面按20%、30%、50%的比例計算各班的得分,請通過計算說明哪個班的得分最高
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【題目】如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長34m、寬22m的矩形ABCD上,修建三條同樣寬的通道,使其中兩條與AB平行,另一條與AD平行,其余部分種花草.要使每一塊花草的面積都為100m2,那么通道的寬應(yīng)設(shè)計成____m.
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【題目】如圖 1,直線 m 與直線 n 垂直相交于點 O ,點 A 在直線 m 上運動,點 B 在直線 n 上運動, AC 、 BC 分別是BAO 和ABO 的角平分線.
(1)求ACB 的大。
(2)如 圖 2,若 BD 是AOB 的外角OBE 的角平分線,BD 與 AC 相交于點 D ,點 A 、B 在運動的過程中,ADB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由,若不發(fā)生變化,試求出其值.
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【題目】如圖,菱形ABCD和Rt△ABE,∠AEB=90°,將△ABE繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDF.
(1)在圖中畫出點O和△CDF;
(2)若∠ABC=130°,直接寫出∠AEF的度數(shù).
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【題目】如圖所示,為了改造小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻的最大可使用長度13 m)的空地上建造一個矩形綠化帶.除靠墻一邊(AD)外,用長為36 m的柵欄圍成矩形ABCD,中間隔有一道柵欄(EF).設(shè)綠化帶寬AB為x m,面積為S m2
(1) 求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍
(2) 綠化帶的面積能達到108 m2嗎?若能,請求出AB的長度;若不能,請說明理由
(3) 當(dāng)x為何值時,滿足條件的綠化帶面積最大
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【題目】如圖,已知∠DAC=90°,△ABC是等邊三角形,點P為射線AD上任意一點(點P與點A不重合),連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連接QB并延長交直線AD于E.
(1)如圖1,猜想∠QEP= ;
(2)如圖2,若當(dāng)∠DAC是銳角時,其他條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),并證明;
(3)如圖3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=6,求BQ的長.
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