【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=﹣x+b與坐標(biāo)軸交于C,D兩點(diǎn),直線AB與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),線段OA,OC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根(OAOC).

(1)求點(diǎn)A,C的坐標(biāo);

(2)直線AB與直線CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)(k0)的圖象的一個(gè)分支經(jīng)過點(diǎn)E,求k的值;

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在直線CD上,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)A(﹣2,0),C(1,0);(2)k=﹣2;(3)N的坐標(biāo)為( )、(,)或(,).

【解析】

試題分析:(1)利用分解因式法解一元二次方程即可得出OA、OC的值,再根據(jù)點(diǎn)所在的位置即可得出A、C的坐標(biāo);

(2)根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式,根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)即可得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo),將其代入直線CD的解析式中即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求出k值;

(3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣m+1),分別以BE為邊、BE為對(duì)角線來考慮.根據(jù)菱形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程,解方程即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo),再結(jié)合點(diǎn)B、E的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo).

試題解析:(1),(x﹣1)(x﹣2)=0,=1,=2,OAOC,OA=2,OC=1,A(﹣2,0),C(1,0).

(2)將C(1,0)代入y=﹣x+b中,得:0=﹣1+b,解得:b=1,直線CD的解析式為y=﹣x+1.

點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn),A(﹣2,0),B的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣1.

點(diǎn)E為直線CD上一點(diǎn),E(﹣1,2).

將點(diǎn)E(﹣1,2)代入(k0)中,得:2=,解得:k=﹣2.

(3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣m+1),以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形分兩種情況(如圖所示):

①以線段BE為邊時(shí),E(﹣1,2),A(﹣2,0),E為線段AB的中點(diǎn),B(0,4),BE=AB==

四邊形BEMN為菱形,EM==BE=,解得:m1=,m2=M(,)或(,),B(0,4),E(﹣1,2),N( )或(,);

②以線段BE為對(duì)角線時(shí),MB=ME,=,解得:m3=,M(),B(0,4),E(﹣1,2),N(0﹣1+,4+2﹣),即(,).

綜上可得:坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,點(diǎn)N的坐標(biāo)為( )、()或().

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(1)直接寫出拋物線的解析式: ;

(2)求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時(shí),△CED的面積最大?最大面積是多少?

(3)當(dāng)△CED的面積最大時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)E除外),使△PCD的面積等于△CED的最大面積?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t,0),其中t>1.若以AB為一邊的正方形有一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,求t的值.

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