Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+b與坐標軸交于C，D兩點，直線AB與坐標軸交于A，B兩點，線段OA，OC的長是方程的兩個根（OA＞OC）．

（1）求點A，C的坐標；

（2）直線AB與直線CD交于點E，若點E是線段AB的中點，反比例函數（k≠0）的圖象的一個分支經過點E，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點M在直線CD上，坐標平面內是否存在點N，使以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），C（1，0）；（2）k=﹣2；（3）N的坐標為（， ）、（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出OA、OC的值，再根據點所在的位置即可得出A、C的坐標；

（2）根據點C的坐標利用待定系數法即可求出直線CD的解析式，根據點A、B的橫坐標結合點E為線段AB的中點即可得出點E的橫坐標，將其代入直線CD的解析式中即可求出點E的坐標，再利用待定系數法即可求出k值；

（3）假設存在，設點M的坐標為（m，﹣m+1），分別以BE為邊、BE為對角線來考慮．根據菱形的性質找出關于m的方程，解方程即可得出點M的坐標，再結合點B、E的坐標即可得出點N的坐標．

試題解析：（1）∵，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴=1，=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）將C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直線CD的解析式為y=﹣x+1．

∵點E為線段AB的中點，A（﹣2，0），B的橫坐標為0，∴點E的橫坐標為﹣1．

∵點E為直線CD上一點，∴E（﹣1，2）．

將點E（﹣1，2）代入（k≠0）中，得：2=，解得：k=﹣2．

（3）假設存在，設點M的坐標為（m，﹣m+1），以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形分兩種情況（如圖所示）：

①以線段BE為邊時，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E為線段AB的中點，∴B（0，4），∴BE=AB==．

∵四邊形BEMN為菱形，∴EM==BE=，解得：m1=，m2=，∴M（，）或（，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（， ）或（，）；

②以線段BE為對角線時，MB=ME，∴=，解得：m3=，∴M（，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．

綜上可得：坐標平面內存在點N，使以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為（， ）、（，）或（，）．