Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）；
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接AC，在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M在x軸上，是否存在點(diǎn)M，使以B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（4）若P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥BC于Q，在y軸左側(cè)的拋物線(xiàn)是否存在點(diǎn)P使△CPQ∽△BCO（點(diǎn)C與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-x+2；；（2）最大值為1，此時(shí)N（-1，2）；（3）M的坐標(biāo)為（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，2）或（-，-）．

【解析】

（1）利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式；

（2）求直線(xiàn)AC的解析式，作輔助線(xiàn)ND，根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式表示N的坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)AC的解析式表示D的坐標(biāo)，表示ND的長(zhǎng)，利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形ANC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值，并計(jì)算此時(shí)N的坐標(biāo)；

（3）分三種情況：當(dāng)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分別以三邊為腰，畫(huà)圖形，求M的坐標(biāo)即可；

（4）存在兩種情況：①如圖4，點(diǎn)P1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)符合條件；

②如圖5，圖3中的M（-，0）時(shí)，MB=MC，設(shè)CM與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P2，則△CP2Q∽△BCO，P2為直線(xiàn)CM的拋物線(xiàn)的交點(diǎn)．

（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-x+2；

（2）如圖1，過(guò)N作ND∥y軸，交AC于D，設(shè)N（n，-n2-n+2），

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴當(dāng)n=-1時(shí)，△ANC的面積有最大值為1，此時(shí)N（-1，2），

（3）存在，分三種情況：

①如圖2，當(dāng)BC=CM1時(shí)，M1（-1，0）；

②如圖2，由勾股定理得：BC=，

以B為圓心，以BC為半徑畫(huà)圓，交x軸于M2、M3，則BC=BM2=BM3=，

此時(shí)，M2（1-，0），M3（1+，0）；

③如圖3，作BC的中垂線(xiàn)，交x軸于M4，連接CM4，則CM4=BM4，

設(shè)OM4=x，則CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=，

∵M4在x軸的負(fù)半軸上，

∴M4（-，0），

綜上所述，當(dāng)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，M的坐標(biāo)為（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；

（4）存在兩種情況：

①如圖4，過(guò)C作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P1，過(guò)P1作P1Q⊥BC，

此時(shí)，△CP1Q∽△BCO，

∴點(diǎn)P1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴P1（-1，2），

②如圖5，由（3）知：當(dāng)M（-，0）時(shí)，MB=MC，設(shè)CM與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P2，

過(guò)P2作P2Q⊥BC，此時(shí)，△CP2Q∽△BCO，

易得直線(xiàn)CM的解析式為：y=x+2，

則，

解得：P2（-，-），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，2）或（-，-）．