Question

【題目】將矩形OABC置于平面直角坐標系中,點A的坐標為(0,4),點C的坐標為(m,0)(m>0),點D(m,1)在BC上,將矩形OABC沿AD折疊壓平,使點B落在坐標平面內,設點B的對應點為點E.

(1)當m=3時,點B的坐標為 ,點E的坐標為 ；

(2)隨著m的變化,試探索:點E能否恰好落在x軸上?若能,請求出m的值;若不能,請說明理由.

(3)如圖,若點E的縱坐標為-1,且點(2,a)落在△ADE的內部,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(3，4)，(0，1)；（2）能，m=；（3）1<a<2.

【解析】

（1）根據(jù)點A、點D、點C的坐標和矩形的性質可以得到點B和點E的坐標；

（2）由折疊的性質求得線段DE和AE的長，然后利用勾股定理得到有關m的方程，求得m的值即可；

（3）過點E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，首先利用勾股定理求得線段DP的長，從而求得線段BF的長，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長，最后求得a的取值范圍．

(1)點B的坐標為(3，4)，

∵AB=BD=3，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°，

則∠DAE=∠BAD=45°，

則E在y軸上.

AE=AB=BD=3，

∴四邊形ABDE是正方形，OE=1，

則點E的坐標為(0，1)；

故答案為(3，4)，(0，1)；

（2）點E能恰好落在x軸上.理由如下：

∵四邊形OABC為矩形，

∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90，

由折疊的性質可得：DE=BD=OACD=41=3，AE=AB=OC=m，

如圖，假設點E恰好落在x軸上，在Rt△CDE中，由

勾股定理可得EC===，

則有OE=OCCE=m，

在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2，

即,解得m=；

（3）如圖,過點E作EF⊥AB于F,EF分別與AD、OC交于點G、H,過點D作DP⊥EF于點P,則EP=PH+EH=DC+EH=2,

在Rt△PDE中,由勾股定理可得，

∴BF=DP=，

在Rt△AEF中,AF=ABBF=m，EF=5，AE=m

∵AF2+EF2=AE2

∴(m)2+52=m2，

解得m=，

∴AB=，AF=，E(，1)

∵∠AFG=∠ABD=90，∠FAG=∠BAD

∴△AFG∽△ABD

∴,即，

解得FG=2，

∴EG=EFFG=3

∴點G的縱坐標為2，

∵點(,a)在直線x=上,且點(,a)落在△ADE的內部，

∴此點必在EG上，

∴1<a<2，

故a的取值范圍為1<a<2.