【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x﹣2與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點(diǎn),且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)如圖1,點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.

①過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,求線段DM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求線段DM的最大值;

②若△CDM為等腰直角三角形,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2x﹣2;(2)①DM=﹣,DM的最大值為;②M的坐標(biāo)為()或(,﹣).

【解析】

1)由直線yx2B4,0)、C0,﹣2),將B4,0)、C0,﹣2)代入yx2+bx+c,列方程組求出b、c即可;

2過點(diǎn)DHAB,交直線yx2于點(diǎn)H.則∠H=∠OBC,OC2,OB4BC2,由sinHsinOBC,即,設(shè)Dm,m2m2),則Hm23m,m2m2),DHm﹣(m23m)=﹣m2+4m,所以DM(﹣m2+4m)=﹣,當(dāng)m2時(shí),DM的最大值為;

分兩種情況:當(dāng)CMDM時(shí),過點(diǎn)MMEy軸于點(diǎn)E,點(diǎn)DDFy軸,交EM的延長線于點(diǎn)F;當(dāng)CDDM時(shí),過點(diǎn)DDEy軸于點(diǎn)E,點(diǎn)MMFy軸,交ED的延長線于點(diǎn)F,分別求出t的值即可.

解(1)由直線yx2

B40)、C0,﹣2),

B4,0)、C0,﹣2)代入yx2+bx+c,

解得b,c=﹣2,

二次函數(shù)的解析式yx2x2;

2過點(diǎn)DH∥AB,交直線yx2于點(diǎn)H

∴∠H∠OBC

∵B4,0)、C0,﹣2),

∴OC2,OB4BC2

∴sin∠Hsin∠OBC

,

設(shè)Dm,m2m2),則Hm23mm2m2),

∴DHm﹣(m23m)=﹣m2+4m

∴DM(﹣m2+4m)=﹣,

當(dāng)m2時(shí),DM的最大值為;

②Ⅰ.當(dāng)CM⊥DM時(shí),過點(diǎn)MME⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)DDF∥y軸,交EM的延長線于點(diǎn)F,

∵△CDM為等腰直角三角形,易證△EMC≌△FDM,

∴EMDF,ECMF

設(shè)Mt,t2),則EMt,OE=﹣t+2,

∴CEOCOE2﹣(﹣t+2)=t,MFtDFt,

EFEM+MFt+t,OE+DF=﹣t+2+tt+2,

∴Dt,﹣t2

Dt,﹣t2)代入二次函數(shù)的解析式yx2x2

,

解得t0(舍去)或t,

∴M1);

.當(dāng)CD⊥DM時(shí),過點(diǎn)DDE⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)MMF∥y軸,交ED的延長線于點(diǎn)F,

∵△CDM為等腰直角三角形,易證△CED≌△DFM,

∴DEMFECDF,

設(shè)Mt,t2),則EFt,CE,DEt,MFt,OCt+2

∴Dt,﹣t2),

Dt,﹣t2)代入二次函數(shù)的解析式yx2x2,

,

解得t0(舍去)或t

∴M2,﹣

綜上,△CDM為等腰直角三角形,點(diǎn)M的坐標(biāo)為()或(,﹣).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】上海世博園開放后,前往參觀的人非常多.5月中旬的一天某一時(shí)段,隨機(jī)調(diào)查了部分入園游客,統(tǒng)計(jì)了他們進(jìn)園前等候檢票的時(shí)間,并繪制成如下圖表.表中“10~20”表示等候檢票的時(shí)間大于或等于10min而小于20min,其它類同.

(1)這里采用的調(diào)查方式是__________;

(2)求表中a、b、c的值,并請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)在調(diào)查人數(shù)里,等候時(shí)間少于40min的有人___________

(4)此次調(diào)查中,中位數(shù)所在的時(shí)間段是__________~__________min.

時(shí)間分段/min

頻數(shù)/人數(shù)

頻率

10~20

8

0.200

20~30

14

a

30~40

10

0.250

40~50

b

0.125

50~60

3

0.075

合計(jì)

c

1.000

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知在RtABC中,∠C90°,ACBC10,點(diǎn)D,E在線段BC上,且CD2,BE5,點(diǎn)PQ分別是線段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形PQED周長的最小值為_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】國家為支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè),提供小額無息貸款,學(xué)生王芳享受政策無息貸款36000元用來代理品牌服裝的銷售.已知該品牌服裝進(jìn)價(jià)每件40元,日銷售y(件)與銷售價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系如圖所示(實(shí)線),每天付員工的工資每人每天82元,每天應(yīng)支付其它費(fèi)用106元.

(1)求日銷售y(件)與銷售價(jià)x (元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若暫不考慮還貸,當(dāng)某天的銷售價(jià)為48元/件時(shí),收支恰好平衡(收入=支出),求該店員工人數(shù);

(3)若該店只有2名員工,則該店至少需要多少天才能還清貸款,此時(shí),每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P.

(1)求證:AC2=ADAB.

(2)點(diǎn)E是∠ACB所對的弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括A,B兩點(diǎn)),連接EC交直徑AB于點(diǎn)F,∠DAP=64°.

①當(dāng)∠ECB=   °時(shí),△PCF為等腰三角形;

②當(dāng)∠ECB=   °時(shí),四邊形ACBE為矩形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下面材料:

在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:

已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形;

求作:菱形AECF,使點(diǎn)E,F分別在BC,AD上.

小凱的作法如下:

(1)連接AC

(2)AC的垂直平分線EF分別交BC,ADE,F

(3)連接AE,CF

所以四邊形AECF是菱形.

老師說:“小凱的作法正確”.

回答下列問題:

根據(jù)小凱的做法,小明將題目改編為一道證明題,請你幫助小明完成下列步驟:

(1)已知:在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)EF分別在邊BC、AD上,   (補(bǔ)全已知條件)

求證:四邊形AECF是菱形.

(2)證明:(寫出證明過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校九年級(jí)兩個(gè)班,各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績?nèi)鐖D:

九(1)班:88,91,92,93,9393,94,98,98,100

九(2)班:89,93,93,93,95,96,9698,98,99

通過整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:

1)直接寫出表中m、n的值;

2)依據(jù)數(shù)據(jù)分析表,有人說:“最高分在(1)班,(1)班的成績比(2)班好”,但也有人說(2)班的成績要好,請給出兩條支持九(2)班成績好的理由;

3)若從兩班的參賽選手中選四名同學(xué)參加決賽,其中兩個(gè)班的第一名直接進(jìn)入決賽,另外兩個(gè)名額在四個(gè)“98分”的學(xué)生中任選二個(gè),試求另外兩個(gè)決賽名額落在同一個(gè)班的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn),B是劣弧的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),⊙O的半徑為1,則AP+PB的最小值_______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市為創(chuàng)建全國文明城市,開展“美化綠化城市”活動(dòng),計(jì)劃經(jīng)過若干年使城區(qū)綠化總面積新增360萬平方米.自2013年初開始實(shí)施后,實(shí)際每年綠化面積是原計(jì)劃的1.6倍,這樣可提前4年完成任務(wù).

(1)問實(shí)際每年綠化面積多少萬平方米?

(2)為加大創(chuàng)城力度,市政府決定從2016年起加快綠化速度,要求不超過2年完成,那么實(shí)際平均每年綠化面積至少還要增加多少萬平方米?

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