Question

【題目】點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，3）和（1，3），拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），給出下列結(jié)論：①c＜3；②當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣5；④當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時(shí)， ．其中正確的是（ ）
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
∴c≤3，（頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”），故①錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大，
因此，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=1，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣2﹣4=﹣6，故③錯(cuò)誤；
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式， =3，
令y=0，則ax2+bx+c=0，
CD2=（﹣ ）2﹣4× = ，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式， =3，
∴ =﹣12，
∴CD2= ×（﹣12）= ，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1﹣（﹣2）=3，
∴ =32=9，
解得a=﹣ ，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有②④．
故選A．

根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②正確；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③錯(cuò)誤；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．