Question

【題目】已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：；
（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)，△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：；
（3）如圖3，四邊形ABMN、四邊形DEAC、四邊形BFGC均為正方形，則S△ABC、S△AEN、S△BMF、S△DCG的關(guān)系是；
（4）運(yùn)用：某小區(qū)中有一塊空地，要在其中建三個(gè)正方形健身場(chǎng)所（如圖3），其余空地修成草坪．若已知其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為5m，另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4m，則草坪的最大面積是 ．

Answer 1

【答案】
（1）△ABE的面積=△ADG的面積
（2）△ABE的面積=△ADG的面積
（3）S△ABC=S△AEN=S△BMF=S△DCG
（4）30m2
【解析】解：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG有公頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上
∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD=90°，
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴△ABE的面積=△ADG的面積；
所以答案是：△ABE的面積=△ADG的面積；
⑵結(jié)論仍然成立．理由如下：
作GH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于H，EP⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于P，如圖所示，
∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，
∴∠PAE=∠GAH，
在△AHG和△AEP中， ，
∴△AHG≌△AEP（AAS），
∴GH=BP，
∵△ABE的面積= EPAB，△ADG的面積= GHAD，
∴△ABE的面積=△ADG的面積；
所以答案是：△ABE的面積=△ADG的面積；
⑶由（2）得：S△ABC=S△AEN=S△BMF=S△DCG ，
所以答案是：S△ABC=S△AEN=S△BMF=S△DCG ，
⑷∵AB=5m，AC=4m，
∴△ABC的面積= ×5×4×sin∠BAC=10sin∠BAC，
當(dāng)sin∠BAC=1時(shí)，△ABC的面積的最大值為10，
根據(jù)（2）中的結(jié)論得到陰影部分的面積和的最大值=△ABC的面積的3倍=3×10=30m2 ．
所以答案是：30m2 ．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正方形的性質(zhì)(正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形)，還要掌握銳角三角函數(shù)的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．