Question

【題目】如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=12，在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R，若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是_____

Answer 1

【答案】12

【解析】

先畫(huà)出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．

設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．

作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．

連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．

∵OA是PE的垂直平分線，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分線，

∴FR=RP，

∴△PQR的周長(zhǎng)=EF．

∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，

∴EF=12，

即在保持OP=12的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為12．

故答案為：12