Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=- x2 + 4x上，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1).

(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

(2)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB.上方拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)PBE的面積最大時(shí)，求PH + HF + FO的最小值.

(3)在(2)中，PH+HF+方FO取得最小值時(shí)，將CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到CF'H'，過(guò)點(diǎn)F'作CF'的垂線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)Q，點(diǎn)R為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S，使以點(diǎn)D，Q，R，S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) AB=2；(2) ；(3) (-1，3-)或( -1，3 + )或( -1，8)或(5，3).

【解析】

（1）求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題；
（2）如圖1中，設(shè)P（m，-m2+4m），作PN∥y軸交BE于N．構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，作直線(xiàn)OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，因?yàn)?/span>FK=OF，推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此時(shí)PH+HF+OF的值最小，解直角三角形即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情形分別求解即可.

解：（1）由題意A（1，3），B（3，3），
∴AB=2；

（2）如圖1中，

設(shè)P（m，-m2+4m），作PN∥y軸交BE于N．
∵直線(xiàn)BE的解析式為y=x，
∴N（m，m），
∴S△PEB=×2×（-m2+3m）=-m2+3m，
∴當(dāng)m=時(shí)，△PEB的面積最大，此時(shí)P（，），H（，3），
∴PH=-3=，
作直線(xiàn)OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，
∵FK=OF，
∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此時(shí)PH+HF+OF的值最小，
∵HGOC=OGHK，
∴HK= ，
∴PH+HF+OF的最小值為．

（3）如圖2中，由題意CH=，CF=，QF′=，CQ=1，

∴Q（-1，3），D（2，4），DQ=，
①當(dāng)DQ為菱形的邊時(shí)，S1（-1，3-），S2（-1，3+），S4（5，3）
②當(dāng)DQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，可得S3（-1，8），
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)S坐標(biāo)為（-1，3-）或（-1，3+）或（-1，8）或（5，3）．