Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD.

(1)求證：OP⊥CD；

(2)連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先判斷出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出結論；

（2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD是等邊三角形，最后用銳角三角函數即可得出結論．

(1)證明：如圖，連接OC，OD，則OC＝OD.

∵PD，PC是⊙O的切線，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°.

在Rt△ODP和Rt△OCP中，

，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP，

∴∠DOP＝∠COP.

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD.

(2)連接AD，BC如圖所示，則OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠ADO＝∠DAO＝50°，

∠BCO＝∠CBO＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝60°.

∵OD＝OC，

∴△COD是等邊三角形．

由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP中，OP＝＝.