Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在AB移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在AC上移動(dòng)，且AN=BM ．

（1）證明：OM = ON；

（2）四邊形AMON面積是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)你求出四邊形AMON的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）4ｃｍ２

【解析】試題分析：

(1) 分析條件可知，要證明OM=ON需要利用全等三角形進(jìn)行. 易知△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)“O是BC的中點(diǎn)”這一條件容易聯(lián)想到利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造全等三角形. 連接OA后容易發(fā)現(xiàn)△OAN與△OBM全等，進(jìn)而得到OM=ON.

(2) 借助第(1)小題的輔助線作法可知，AO將四邊形AMON分割為△OAN與△OAM. 由第(1)小題的證明可知，△OAN的面積等于△OBM的面積. 利用這一關(guān)系，實(shí)際上將四邊形AMON的面積轉(zhuǎn)化為了△OAB的面積. 因?yàn)?/span>△OAB的面積不受動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，所以四邊形AMON的面積不變. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)容易求得△OAB的面積，即得四邊形AMON的面積.

試題解析：

(1) 連接OA. (如圖)

∵在Rt△ABC中，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，即∠ABO=45°，

∵O是BC的中點(diǎn)，且△ABC是等腰直角三角形，

∴AO⊥BC，

∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠ABO=90°-45°=45°，

∴∠OAB=∠ABO，

∴OA=OB，

∵O是BC的中點(diǎn)，且△ABC是等腰直角三角形，

又∵∠BAC=90°，

∴，

∴∠OAC=∠ABO=45°，即∠OAN=∠OBM，

∵在△OAN與△OBM中：

，

∴△OAN≌△OBM (SAS)，

∴ON=OM，即OM=ON.

(2) 在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AMON面積不變.

下面求解四邊形AMON的面積.

連接OA.

由第(1)小題的證明可知：△OAN≌△OBM，

∴△OAN的面積等于△OBM的面積，

∵四邊形AMON的面積等于△OAN的面積與△OAM的面積之和，

∴四邊形AMON的面積等于△OBM的面積與△OAM的面積之和，

∵△OBM的面積與△OAM的面積之和等于△OAB的面積，

∴四邊形AMON的面積等于△OAB的面積，

∵O是BC的中點(diǎn)，且△ABC是等腰直角三角形，

∴△OAB的面積等于△ABC的面積的一半，

∵AB=AC=4cm，

∴Rt△ABC的面積為： (cm2)，

∴△OAB的面積為： (cm2)，

∴四邊形AMON的面積為：4cm2.