【題目】(2017浙江省寧波市)在一次課題學習中,老師讓同學們合作編題,某學習小組受趙爽弦圖的啟發(fā),編寫了下面這道題,請你來解一解:

如圖,將矩形ABCD的四邊BA、CB、DC、AD分別延長至EF、GH,使得AE=CG,BF=DH,連接EF,FG,GH,HE

(1)求證:四邊形EFGH為平行四邊形;

(2)若矩形ABCD是邊長為1的正方形,且∠FEB=45°,tanAEH=2,求AE的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)2.

【解析】試題(1)由矩形的性質得出AD=BC,BAD=BCD=90°,證出AH=CF,在RtAEHRtCFG中,由勾股定理求出EH=FG,同理:EF=HG,即可得出四邊形EFGH為平行四邊形;

(2)在正方形ABCD中,AB=AD=1,設AE=x,則BE=x+1,在RtBEF中,∠BEF=45°,得出BE=BF,求出DH=BE=x+1,得出AH=AD+DH=x+2,在RttAEH中,由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.

試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BCBAD=BCD=90°,BF=DH,AH=CF,在RtAEH中,EH=,在RtCFG中,FG=,AE=CGEH=FG,同理:EF=HG,∴四邊形EFGH為平行四邊形;

(2)解:在正方形ABCD中,AB=AD=1,設AE=x,則BE=x+1,在RtBEF中,∠BEF=45°,BE=BFBF=DH,DH=BE=x+1,AH=AD+DH=x+2,在RttAEH中,tanAEH=2,AH=2AE,2+x=2x,解得:x=2,AE=2.

練習冊系列答案
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;

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(2)求tan∠CMD

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